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Problema 2 OMM 2003
Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos colineales con $B$ entre $A$ y $C$. Sea $Y$ una circunferencia tangente a $AC$ en $B$, y sean $X$ y $Z$ las circunferencias de diámetros $AB$ y $BC$,
respectivamente. Sea $P$ el otro punto (además de $B$) en el que se cortan las circunferencias $X$ y $Y$; sea $Q$ el otro punto (además de $B$) en el que se cortan las circunferencias $Y$ y $Z$.
Supón que la recta $PQ$ corta a $X$ en un punto $R$ distinto de $P$, y que esa misma recta $PQ$ corta a $Z$ en un punto $S$ distinto de $Q$. Demuestra que concurren $AR$,$CS$, y la tangente
común a $X$ y $Z$ por $B$.
Problema 5 OMM 2003
Problema 5. Se escriben en tarjetas todas las parejas de enteros $(a,b)$ con $1\leq a\leq b \leq 2003$. Dos personas juegan con las tarjetas como sigue: cada jugador en su turno elige $(a,b)$ (que se retira del juego) y escribe el producto ab en el pizarrón (ambos jugadores usan el mismo pizarrón). Pierde el jugador que ocasione que el máximo común divisor de los números escritos hasta ese momento sea $1$. ¿Quién tiene la estrategia ganadora? (Es decir, ¿cuál de los dos jugadores puede inventar un método que asegure su tirunfo?)
Problema 3 OMM 2003
Problema 3. En una fiesta hay el mismo número n de muchachos que de muchachas. Supón que a cada muchacha le gustan a muchachos y que a cada muchacho le gustan b muchachas. ¿Para qué valores de $a$ y $b$ es correcto afirmar que forzosamente hay un muchacho y una muchacha que se gustan mutuamente?
Cálculo inteligente
¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?
$(12, 345, 678)^2 - (12, 345, 677) \times (12, 345, 679)$
Método 2 loci (dos lugares) --segunda parte
Trazar una circunferencia que pase por los tres vértices de un triángulo ABC.
Método 2 loci (dos lugares)
Trazar una circunferencia que sea tangente a los tres lados de un triángulo.
Condición necesaria y suficiente
Al consultar un glosario buscamos el significado de las palabras a través de su definición. Pero la definición es solamente la puerta de entrada del camino que conduce a ese significado. Por definición, la definición tiene que ser concisa. Debe expresar la esencia del concepto o cosa que se define. Pero el verdadero significado se establece en su relación con otros conceptos y, sobre todo, se establece en el uso.
Problema 1 OMM 2003
Problema 1. Dado un número $k$ de dos o más cifras, se forma otro
entero $m$ insertando un cero entre las cifras de las unidades y
de las decenas de $k$. Encuentra todos los números $k$ para los
cuales $m$ resulta ser un múltiplo de $k$.
Cuadrados en cada lado y concurrencia.
Sobre los lados del triángulo ABC se han dibujado los cuadrados $ \mathcal{C}_A $, $ \mathcal{C}_B $ y $ \mathcal{C}_C $, de tal manera que un lado del cuadrado es un lado del triángulo y el cuadrado no traslapa al triángulo. El cuadrado $ \mathcal{C}_A $ se encuentra sobre BC; $ \mathcal{C}_B $ sobre AC; y $ \mathcal{C}_C $ sobre AB.
Problema de cíclicos
En un triángulo acutángulo, el círculo de diámetro AB intersecta la altura CE y su extensión en M y N, y el círculo de diámetro AC intersecta la altura BD y su extensión en P y Q. Probar que los puntos M, N, P, Q están sobre una misma circunferencia.
(Nota:Este problema es una extensión del problema dos segmentos iguales.)
