Publicaciones Recientes
Hábitos de la mente (para el desempeño eficaz )
Problema 6 OMM 2003
Dado un entero $n$ un cambio sensato consiste en sustituir $n$ por $2n+1$ ó $3n+2$. Dos enteros positivos $a$ y $b$ se llaman compatibles si existe un entero que se puede obtener haciendo uno o más cambios sensatos, tanto a partir de $a$, como a partir de $b$. Encuentra todos los enteros positivos compatibles con $2003$ menores que $2003$.
Problema 4 OMM 2003
Sea $ABCD$ un trapecio con $AB$ paralelo a $DC$. Se toman puntos $P$ y $Q$ sobre $AB$ y $CD$ respectivamente, tales que $\frac{AP}{PB}= \frac{DQ}{QC}$. Sea $M$ la intersección de $AQ$ con $DP$ y sea $N$ la intersección de $PC$ con $QB$. Pruebe que la longitud de $MN$ depende sólo de las longitudes de $AB$ y $DC$ y calcula su valor.
Ciencias blandas (Soft science)
Tres licenciados en ciencias blandas han tenido que entrar al mercado laboral con sus habilidades preuniversitarias. Con la siguiente información decide en qué trabaja cada uno.
Triángulos de igual área
Demostrar que un cuadrilátero es paralelogramo si y sólo si cada una de sus diagonales lo divide en dos triángulos de igual área.
Problema 5, ONMAS 2007
Sean $a, b$ dos enteros tales que $2007 a = 7002b$. Demostrar que $a+b$ no es primo.
Pícaro y caballero (segunda parte)
La Prepa El Pícaro Caballero (de un país muy lejano) tiene dos tipos de profesores: pícaros y caballeros.
Pícaro y caballero
La prepa El Pícaro Caballero (de un país muy lejano) tiene dos tipos de profesores: pícaros y caballeros.
Problema 2 OMM 2003
Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos colineales con $B$ entre $A$ y $C$. Sea $Y$ una circunferencia tangente a $AC$ en $B$, y sean $X$ y $Z$ las circunferencias de diámetros $AB$ y $BC$,
respectivamente. Sea $P$ el otro punto (además de $B$) en el que se cortan las circunferencias $X$ y $Y$; sea $Q$ el otro punto (además de $B$) en el que se cortan las circunferencias $Y$ y $Z$.
Supón que la recta $PQ$ corta a $X$ en un punto $R$ distinto de $P$, y que esa misma recta $PQ$ corta a $Z$ en un punto $S$ distinto de $Q$. Demuestra que concurren $AR$,$CS$, y la tangente
común a $X$ y $Z$ por $B$.
Problema 5 OMM 2003
Problema 5. Se escriben en tarjetas todas las parejas de enteros $(a,b)$ con $1\leq a\leq b \leq 2003$. Dos personas juegan con las tarjetas como sigue: cada jugador en su turno elige $(a,b)$ (que se retira del juego) y escribe el producto ab en el pizarrón (ambos jugadores usan el mismo pizarrón). Pierde el jugador que ocasione que el máximo común divisor de los números escritos hasta ese momento sea $1$. ¿Quién tiene la estrategia ganadora? (Es decir, ¿cuál de los dos jugadores puede inventar un método que asegure su tirunfo?)
