Problemas - Teoría de números
Múltiplos de 9 con restricciones
¿Cuántos múltiplos de 9 menores que 1000 no usan ningún digito menor que 3?
Problema 5 Estatal 2022
Encuentra todas las parejas de enteros positivos (x,n) tales que:
(3)(2x) + 4 = n2
El 3 del estatal 2022
Encuentra todos los valores para n de tal forma que la expresión
6n+1
sea un número con todos sus dígitos iguales.
El número de Belmaris
André, Belmaris, Claudia, Daniel, Elmer y Germán van a jugar a decir números en ese orden. André y Belmaris podrán elegir sus números, pero los siguientes deben decir el resultado de la multiplicación de los números que dijeron las dos personas antes que ellos, sin equivocarse. Si André dijo "2" y Germán dijo "6 075 000" (seis millones setenta y cinco mil), ¿qué numero dijo Belmaris?
Práctica de módulos
Problema técnico de primos
Encuentra la suma de los números primos que dividen a todos los números de 3 dígitos con todos ellos iguales.
Piezas rectangulares con área 240
Se van a construir piezas rectangulares de área 240 cm2 y con ambos lados entero. ¿De cuántas formas distintas se puede hacer?
Subconjuntos con promedio entero
Números digitales (OMM 2021 P5)
Para cada entero $n>0$ con expansión decimal $\overline{a_1a_2 \dots a_k}$ definimos $s(n)$ como sigue:
- Si k es par, $s(n) = \overline{a_1a_2} + \overline{a_3a_4} + \dots +\overline{a_{k-1}a_k} $
- Si k es impar, $s(n) = a_1 + \overline{a_2a_3} + \overline{a_4a_5} + \dots +\overline{a_{k-1}a_k} $
Por ejemplo, si $n=123$ entonces $s(n) = 1 + 23 = 24$ y si $n=2021$ entonces $s(n) = 20+21 = 41$.
Decimos que este $n$ es digital si $n$ es múltiplo de $s(n)$. Muestra que entre cualesquiera 198 enteros positivos consecutivos, todos ellos menores que 2000021, hay uno de ellos que es digital.