Problemas - Teoría de números
P1. OMM 1987. Suma de dos fracciones que dan entero
Consideremos dos fracciones reducidas $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ con $ b, d>0$ . Si la suma de estas dos fracciones es un número entero entonces $b=d$.
Problema 1, ONMAS 2008
¿Cuántos divisores cuadrados perfectos tiene el número $ 2008^{2008} $ ?
Las cervezas de Bart Simpson
Bart Simpson cuenta, usando sus dedos de la mano derecha, las cervezas que se ha tomado su papá en la semana. Si cuenta empezando con el meñique y termina en el índice pulgar y vuelve a empezar con el meñique, y contó 777 ¿en qué dedo terminó la cuenta? (Nota: Bart solamente tiene 4 dedos. Además, hay que suponer que sabe contar hasta 777...) ¿En qué dedo terminaría si tuviese 5 dedos?
Fermat converso (en general, espurio)
Demostrar que si $p, q$ son dos primos distintos para los cuales $a^p\equiv a \pmod{q}$ y $a^q\equiv{a} \pmod{p}$, entonces $a^{pq} \equiv a \pmod{pq}$. }
Demostrar, con este resultado, el siguiente contraejemplo para la conversa del pequeño teorema de Fermat: $2^{340} \equiv 1 \pmod{341}$ --¡pero 341 es compuesto!
Partición de un conjunto
Encontrar todos los enteros positivos $ n $ para los cuales el conjunto $A= \{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5\}$ puede particionarse en dos subconjuntos con el mismo producto de sus miembros (el producto de los números en uno de los subconjuntos es igual al producto de los números en el otro).
Residuo de un factorial (módulo un primo)
Encontrar el residuo que deja 50(50!) al dividirlo entre 53.
Inverso (mod 151) de una potencia de 2
Encontrar un número entero positivo que al multiplicarlo por $2^{145}$ y al resultado restarle 1, se obtenga un múltiplo de 151.
Expresable como combinación lineal
Decidir (con justificación) cuál de los tres números $2007, 2008, 2009$ podría ser expresado como una combinación lineal entera de 453 y 408, es decir, en la forma $453x+408y$, con $x, y$ enteros.
Encontrar un residuo
Encontrar el residuo que deja $2009^{2008}$ al dividirlo entre $9$
Clasificación de primos que dividen a un cuadrado más uno
Demuestra que si $ p$ es un primo impar que divide a $n^2 +1$ para algún $ n$, entonces $ p$ debe ser de la forma $4k+1$, es decir, $p \equiv 1$ (mód 4).