Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Elemental pero difícil
Encontrar todos los números enteros positivos de cuatro cifras de la forma $n=abab$ (la primera y la tercera cifras son iguales, así como la segunda y la cuarta) y tales que el producto de sus cifras divide a $n^2$.
Divisible entre la suma de sus cifras
Demostrar que en un conjunto de 18 números enteros positivos, consecutivos y menores o iguales a 2009, hay uno que es divisible entre la suma de sus cifras.
Factorizar y resolver
Encontrar todas las soluciones $(x,y)$ en enteros positivos de la ecuación diofantina $x^3=19+y^3$
Una diofantina muy difícil
Resolver la ecuación diofantina siguiente para enteros no negativos x,y,z:
$$x^2+y^4+z^6=2^{1111}$$
Pudorosa (segunda parte)
Decidir --con prueba-- si la ecuación diofantina $123x+426y=8$ tiene solución.
Una pudorosa propiedad del máximo común divisor
Si $a, b$ son enteros y cumplen $7a-38b=-2$ ¿qué se puede concluir sobre el máximo común divisor de a y b?
¿Es múltiplo de 11? (Que lo diga Fermat.)
Decidir --con prueba-- si $61^{61}+71^{71}$ es divisible entre 11.
ExSel2_Pr1: Inclusión y exclusión... pero basta con razonarlo
¿Cuántos números enteros positivos no mayores que 1000 no son ni cuadrados ni cubos?
Elemental,... pero sólo si sabes usar el PTF
Encontrar todos los primos $q$ tales que $4+2^q$ es múltiplo de $2q.$
Los primos no se factorizan... excepto en la forma 1( p )
Encontrar todos los enteros positivos n tales que $n^{20}+n^{10}+1$ es un primo.
Otro de puros 1´s
Demostrar que todo primo impar n excepto el 5 divide a algun numero de la forma $111...11$ ($k$ digitos, todos unos).
P divide a una sumota
Sea $p$ un número primo. Encontrar la condición que debe cumplir n para que $1+n+n^2+....+n^{p-2}$ es múltiplo de $p$.
Encontrar k...
Determina si existen infinitos enteros $ k $, que cumplen que para cualquier primo $ p $, el numero $p^2+k$ siempre es compuesto.
Por ejemplo si tomamos $k=2$, para $p=2$ dicho numero es compuesto pero para $p=3$ no lo es...
División en casos
Encontrar todas las tripletas $(p,q,r)$ de números primos tales que $p^q+p^r$ es un cuadrado perfecto.
Criba modular
Encontrar todas las soluciones $(x,y)$ en enteros positivos para la ecuación $7^x-3\cdot 2^y=1.$
Múltiplo de 11 compuesto de unos
Sea $p$ un un entero positivo. El número $11p$ está compuesto de $m$ dígitos todos iguales a 1. Encontrar todos los valores de $m$ para los cuales $p$ es primo.
Cambio de dígitos
Sean $a$ y $b$ enteros positivos de 8 dígitos cada uno, tales que al quitar cualquier dígito de $a$ (pero solo uno) y colocar el correspondiente en posición con $b$, se cumple que el número formado es divisible entre 7 (en cualquiera de los 8 posibles cambios). Demuestra que $b$ es divisible entre 7.
Problema 5(N)
El alumno menos aventajado del salón canceló el 6 en 16/64 y obtuvo 1/4 --la respuesta correcta. Encontrar todos los pares de números de dos cifras ab, bc tales que ab/bc=a/c --con a,b,c dígitos diferentes. (Es decir, todos los casos en que este alumno podría acertar con su método al simplificar quebrados de dos cifras.)
IMO 2009 Problema 1
Sea $ n $ un entero positivo y sean $a_1,a_2,...,a_k (k\geq 2)$ enteros distintos del conjunto $ {1,...,n} $, tales que $ n $ divide a $a_i(a_{i+1}-1)$, para $i=1,..., k-1$. Demostrar que $ n $ no divide a $a_k(a_1-1)$.
PROBLEM 1 DE LA CENTRO
Determine el menor entero positivo $ N $ tal que la suma de sus dígitos sea 100 y la suma de $2N$ sea 110