Problemas - Geometría
P4 OMM 1991. Ocho puntos concíclicos
Considere un cuadrilátero convexo $ABCD$ en el que las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan formando ángulo recto. Sean $M, N, R$ y $S$ los puntos medios de los segmentos $AB, BC, CD$ y $AD$, respectivamente. Sean $W,X, Y$ y $Z$ las proyecciones de los puntos $M, N, R$ y $S$ sobre las rectas $DC, AD, AB$ y $BC$, respectivamente. Pruebe que todos los puntos $M, N,R, S, W, X, Y$ y $Z$ están sobre una misma circunferencia.
P3 OMM 1991. Cuatro canicas en una esfera
Se tienen 4 canicas de radio uno colocadas en el espacio de tal manera que
cada una de ellas es tangente a las otras tres. ¿Cuál es el radio de la esfera
más pequeña que contiene a las canicas?
P6. OMM 1990. Una configuración cargada de teoría
Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $C$. Sea $l$ cualquier recta que pase por $B$ y que corte al lado $AC$ en un punto $E$. Sean $F$ el punto medio de $EC$, $G$ el punto medio de $CB$ y $H$ el pie de la altura de $C$, respecto a $AB$, en el triángulo $ABC$. Si $I$ denota el circuncentro del triángulo $AEH$ (punto de intersección de las mediatrices de los lados), pruebe que los triángulos $IGF$ y $ABC$ son semejantes.
P5. OMM 1990. Baricentro de coordenadas enteras
Si $P_1,P_2,\ldots,P_{19}$ son diecinueve puntos del plano con coordenadas enteras tales que cada tres de ellos son no colineales, demuestre que hay tres con la propiedad de que su baricentro (punto de intersección de las medianas de un triángulo), también tiene coordenadas enteras.
P2. OMM 1990. Relación de inradios
Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $B$, y $H$ el punto de intersección del lado $AC$ y la altura por $B$. Llamemos $r,r_1,r_2$ a los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos $ABC,ABH,HBC$, respectivamente. Encuentre una igualdad que relacione $r,r_1,r_2$.
P5. OMM 1989. Círculos tangentes
Sean $C_1$ y $C_2$ dos círculos tangentes de radio 1 dentro de un círculo $C$ de radio 2. Sea $C_3$ un círculo dentro de $C$ tangente a cada uno de los círculos $C,C_1,C_2$. Sea $C_4$ un círculo dentro de $C$ tangente a $C,C_1,C_3$. Demuestre que los centros de $C,C_1,C_3,C_4$ son los vértices de un rectángulo.
P1. OMM 1989. Áreas y medianas
Considere un triángulo $ABC$ en el que la longitud del lado $AB$ es 5, las medianas por $A$ y por $B$ son perpendiculares entre sí y el área es 18. Hallar las longitudes de los lados $BC$ y $AC$.
P8. OMM 1988. Esfera en octaedro
Calcule el volumen del octaedro que circunscribe a una esfera de radio 1.
P3. OMM 1988. Área de triángulo de tangentes comunes
Considere dos circunferencias tangentes exteriormente y de radios distintos; sus tangentes comunes forman un triángulo. Calcule el área de dicho triángulo en términos de los radios de las circunferencias.
P8. OMM 1987. El último de la primera nacional (de geometría tridimensional)
- Tres rectas en el espacio l, m, n concurren en el punto S y un plano perpendicular a m corta a l, m, n en A, B y C respectivamente. Suponga que los ángulos ASB y BSC son de 45° y que el ángulo ABC es recto. Calcule el ángulo ASC.
- Si un plano perpendicular a l corta a l, m, n en P, Q y R respectivamente y si SP = 1, calcule los lados del triángulo PQR.