Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
XXIIIOMM Problema 2
En cajas marcadas con los números 0,1,2,3,... se van a colocar todos los enteros positivos de acuerdo con las siguientes reglas:
XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 6)
Alrededor de una circunferencia se marcan 6000 puntos y cada uno se colorea con uno de 10 colores dados, de manera tal que entre cualesquiera 100 puntos consecutivos siempre figuran los 10 colores. Hallar el menor valor k con la siguiente propiedad: Para toda coloración de este tipo existen $k $ puntos consecutivos entre los cuales figuran los 10 colores.
XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 1)
Sea $ n $ un natural mayor que 2. Supongamos que $ n $ islas están ubicadas en un círculo y que entre cada dos islas vecinas hay dos puentes como en la figura:
Problema 4 OIM 1997
Sea n un entero positivo. Consideremos la suma $x_1y_1 + x_2y_2 + \ldots + x_ny_n$, donde los valores que pueden tomar las variables $x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n$ son únicamente 0 y 1. Sea $I(n)$ el número de $2n$-adas $(x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n)$ para las cuales el valor de la suma es un número impar y sea $P(n)$ el número de $2n$-adas $(x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n)$ para las cuales la suma toma valor par. Probar que
$$\frac{P(n)}{ I(n)}=\frac{2^n + 1}{2^n - 1}$$
Problema 1, geometrense 2008
En un circunferencia hay $3n$ puntos que la dividen en $3n$ arcos. De estos arcos $ n$ miden 1, $n $ miden 2 y el resto mide 3. Demuestra que existen dos de estos puntos diametralmente opuestos.
Problema 6, XII Olimpiada Iberoamericana
Sea $P=\{P_1, P_2, \dots, P_{1997}\}$ un conjunto de 1997 puntos en el interior de un círculo de radio 1, siendo $P_1$ el centro del círculo. Para cada $k=1, \dots, 1997$ sea $x_k$ la distancia de $P_k$ al punto de $ P$ más próximo a $P_k$ y distinto de $P_k$. Demostrar que:
$$x_1^2 + x_2^2 + \cdots +x_{1997}^2 \leq 9$$
P3. OMM 1993
Dentro de un pentágono de área 1993 se encuentran 995 puntos. Considere estos puntos junto con los vértices del pentágono.
Muestre que, de todos los triángulos que se pueden formar con los 1000 puntos anteriores como vértices, hay al menos uno de área menor o igual que 1.
Ladrones de la tercera edad
"El Carrizos" y "el Mayel", dos ladrones de la tercera edad, han robado un collar circular con $2m$ cuentas de oro y $2n$ cuentas de plata, dispuestas en un orden desconocido.
2n-agono
Demostrar que para cada n natural mayor que 1, cualquier 2n-ágono convexo tiene una diagonal que no es paralela a ningún lado.
El Viajero
Un viajero decide tomar un paseo en su propio automóvil, recorriendo un camino "circular" que pasa por $n$ ciudades; es decir, sin importar en la ciudad que inicie, regresará a ésta después de pasar por las otras.
La distancia total del recorrido es de $K$ kilómetros. Por otro lado, cada ciudad (digamos la ciudad $i$, con $i$ entre $1$ y $n$) tiene un máximo de gasolina que puede vender por usuario y con dicha gasolina se puede avanzar alguna cierta cantidad de kilómetros ($K_i$ kilómetros para la ciudad i).
Supongamos que el total de gasolina que se puede obtener en las distintas ciudades es apenas suficiente para realizar todo el recorrido, es decir, $K_1 + K_2 + ... + K_n = K$.