Problemas
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Colinealidad en configuración de cíclico con ortodiagonales
Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares. Sean $O$ el circuncentro de $ABC$, $K$ el punto de intersección de las diagonales, $L\neq O$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas a $OAC$ y $OBD$, y $G$ el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios de los lados de $ABCD$. Demostrar que $O,K, L,G$ están alineados.
Concurrencia en configuración de in y circuncírculos
Sea $\Gamma$ el incírculo de un triángulo escaleno $ABC$, que es tangente a los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $D,E,F$ respectivamente. Las rectas $EF$ y $BC$ se cortan en $G$. La circunferencia de diámetro $GD$ corta a $\Gamma$ por segunda vez en $R$. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección (distintos de $R$) de $\Gamma$ con $BR$ y $CR$, respectivamente. Las rectas $BQ$ y $CP$ se cortan en $X$, el circuncírculo de $CDE$ corta a $QR$ en $M$ y el circuncírculo de $BDF$ corta a $PR$ en $N$. Demostrar que $PM, QN$ y $RX$ son concurrentes.
Desigualdad con áreas de dos triángulos
Sean $ABC$ un triángulo y $X,Y,Z$ puntos interiores de los lados $BC,CA,AB$ respectivamente. Sean $A',B',C'$ los circuncentros correspondientes a los triángulos $AZY,BXZ,CYX$, respectivamente. Demuestre que:
$$(A'B'C')\geq (ABC)/4$$
y que la igualdad ocurre si y sólo si $AA',BB'$ y $CC'$ son concurrentes.
Nota: Para un triángulo cualquiera $RST$, denotamos su área con $(RST)$.
Bisectriz externa en un escaleno
Sean $ABC$ un triángulo escaleno y $l$ la bisectriz exterior del $\angle{ABC}$. Sean $P$ y $Q$ los pies de las perpendiculares a la recta $l$ que pasan por $A$ y $C$, respectivamente. Sean $M$ y $N$ las intersecciones de $CP$ y $AB$ y $AQ$ y $BC$, respectivamente. Pruebe que las rectas $AC,MN$ y $l$ tienen un punto en común.
Familia de hexágonos convexos
Sea $F$ la familia de todos los hexágonos convexos $H$ que satisfacen las siguientes condiciones:
- (a) los lados opuestos de $H$ son paralelos;
- (b) tres vértices cualesquiera de $H$ se pueden cubrir con una franja de ancho 1.
Determinar el menor número real $l$ tal que cada uno de los hexágonos de la familia $F$ se puede cubrir con una franja de ancho $l$.
Nota: Una franja de ancho $l$ es la región del plano comprendida entre dos rectas paralelas que están a distancia $l$ (incluidas ambas rectas paralelas).
Concéntrica al incírculo de ABC
Sean $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y $\Gamma$ una circunferencia de centro $I$, de radio mayor al de la circunferencia inscrita y que no pasa por ninguno de los vértices. Sean $X_1$ el punto de intersección de $\Gamma$ con la recta $AB$ más cercano a $B$; $X_2$ y $X_3$ los puntos de intersección de $\Gamma$ con la recta $BC$ siendo $X_2$ más cercano a $B$; y $X_4$ el punto de intersección de $\Gamma$ con la recta $CA$ más cercano a $C$. Sea $K$ el punto de intersección de las rectas $X_1X_2$ y $X_3X_4$. Demostrar que $AK$ corta al segmento $X_2X_3$ en su punto medio.
Vértice en la mediatriz
Sea $n\gt 1$ un entero impar. Sean $P_0$ y $P_1$ dos vértices consecutivos
de un polígono regular de $n$ lados. Para cada $k\geq 2$, se define $P_k$ como el vértice del polígono dado que se encuentra en la mediatriz de $P_{k-1}$ y $P_{k-2}$. Determine para qué valores de $n$ la sucesión $P_0, P_1, P_2,\ldots,$ recorre todos los vértices del polígono.
Circunferencia inscrita en un cuadrilátero
Dada una circunferencia $C$, considere un cuadrilátero $ABCD$ con sus cuatro lados tangentes a $C$, con $AD$ tangente a $C$ en $P$ y $CD$ tangente a $C$ en $Q$. Sean $X$ y $Y$ los puntos donde $BD$ corta a $C$, y $M$ el punto medio de $XY$ . Demuestre que $\angle{AMP} = \angle{CMQ}$.
Incírculo y circuncírculo de un escaleno rectángulo
En el triángulo escaleno $ABC$, con $\angle{BAC}=90$, se consideran las circunferencias inscrita y circunscrita. La recta tangente en $A$ a la circunferencia circunscrita corta a la recta $BC$ en $M$. Sean $S$ y $R$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los catetos $AC$ y $AB$, respectivamente. La recta $RS$ corta a la recta $BC$ en $N$. Las rectas $AM$ y $SR$ se cortan en $U$. Demuestre que el triángulo $UMN$ es isósceles.
La recta pasa por el ortocentro
Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ y $A_1$ un punto en el
arco menor $BC$ de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$. Sean $A_2$ y
$A_3$ puntos en los lados $AB$ y $AC$ respectivamente, tales que $\angle{BA_1A_2} = \angle{OAC}$ y $\angle{CA_1A_3} = \angle{OAB}$. Demuestre que la recta $A_2A_3$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$.
Bisectrices y mediatrices de un escaleno
Dado un triángulo escaleno $ABC$, sean $A', B'$ y $C'$ los puntos de intersección de las bisectrices interiores de los ángulos $A, B$ y $C$ con los lados opuestos, respectivamente. Sean $A''$ la intersección de $BC$ con la mediatriz de $AA'$, $B''$ la intersección de $AC$ con la mediatriz de $BB'$ y $C''$ la intersección de $AB$ con la mediatriz de $CC'$. Probar que $A'', B''$ y $C''$ son colineales.
Triángulo en un cuadrado
En el cuadrado $ABCD$, sean $P$ y $Q$ puntos pertenecientes a los lados $BC$ y $CD$ respectivamente, distintos de los extremos, tales que $BP=CQ$. Conside los puntos $X, Y$, con $X\neq Y$, pertenecientes a los segmentos $AP, AQ$, respectivamente. Demuestre que, cualesquiera que sean $X$ y $Y$, existe un triángulo cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos $BX, XY$ y $DY$.
Configuración con semicircunferencia
Sean $C$ y $D$ dos puntos de la semicircunferencia de diámetro $AB$ tales que $B$ y $C$ están en semiplanos distintos respecto de la recta $AD$. Denotemos con $M, N$ y $P$ los puntos medios de $AC, DB$ y $CD$, respectivamente. Sean $O_A$ y $O_B$ los circuncentros de los triángulos $ACP$ y $BDP$. Demuestre que las rectas $O_AO_B$ y $MN$ son paralelas.
Escaleno con bisectriz
En un triángulo escaleno $ABC$ se traza la bisectriz interior $BD$, con $D$ sobre $AC$. Sean $E$ y $F$, respectivamente, los pies de las perpendiculares trazadas desde $A$ y $C$ hacia la recta $BD$, y sea $M$ el punto sobre el lado $BC$ tal que $DM$ es perpendicular a $BC$. Demuestre que $\angle{EMD} = \angle{DMF}$.
Incírculo y condición suficiente para isósceles
La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ tiene centro $O$ y es tangente a los lados $BC, AC$ y $AB$ en los puntos $X, Y$ y $Z$, respectivamente. Las rectas $BO$ y $CO$ intersectan a la recta $YZ$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente.
Demostrar que si los segmentos $XP$ y $XQ$ tienen la misma longitud, entonces el triángulo $ABC$ es isósceles.
Circunferencias secantes y tangente común
Sean $S_1$ y $S_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$, respectivamente, secantes en $M$ y $N$. La recta $t$ es la tangente común a $S_1$ y $S_2$, más cercana a $M$. Los puntos $A$ y $B$ son los respectivos puntos de contacto de $t$ con $S_1$ y $S_2$, $C$ el punto diametralmente opuesto a $B$, y $D$ el punto de intersección de la recta $O_1O_2$ con la recta perpendicular a la recta $AM$ trazada por $B$. Demostrar que $M, D$ y $C$ están alineados.
Circuncírculo de un acutángulo y las alturas de éste
Un triángulo acutángulo $ABC$ está inscrito en una circunferencia de centro $O$. Las alturas del triángulo son $AD, BE$ y $CF$. La recta $EF$ corta a la circunferencia en $P$ y $Q$.
- a) Pruebe que $OA$ es perpendicular a $PQ$.
- b) Si $M$ es el punto medio de $BC$, pruebe que $AP^2 = 2AD\cdot OM$
Caracterización del isósceles vía su incírculo
La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC, CA$ y $AB$ en los puntos $D, E$ y $F$, respectivamente. $AD$ corta a la circunferencia en un segundo punto $Q$. Demostrar que la recta $EQ$ pasa por el punto medio de $AF$ si, y solamente si, $AC = BC$.
Sección áurea en un isósceles
El ángulo $A$ del triángulo isósceles $ABC$ mide 2/5 de recto, siendo iguales sus ángulos $B$ y $C$. La bisectriz de su ángulo $C$ corta al lado opuesto en el punto $D$. Calcular las medidas de los ángulos del triángulo $BCD$. Expresar la medida $a$ del lado $BC$ en función de la medida $b$ del lado $AC$, sin que en la expresión aparezcan razones trigonométricas
Un triedro trirrectángulo
Sea $OXYZ$ un triedro trirrectángulo de vértice $O$ y aristas $X, Y, Z$. Sobre la arista $Z$ se toma un punto fijo $C$, tal que $OC = c$. Sobre $X$ y $Y$ se toman respectivamente dos puntos variables $P$ y $Q$ de modo que la suma $OP + OQ$ sea una constante dada $k$. Para cada par de puntos $P$ y $Q$, los cuatro puntos $O, C, P, Q$ están en una esfera, cuyo centro $W$ se proyecta sobre el plano $OXY$. Razonar cuál es el lugar geométrico de esa proyección. Razonar también cuál es el lugar geométrico de $W$.