Publicaciones Recientes

Problema

P6. La lista de Germán

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:16.

Sea $n$ un entero positivo. Germán tiene una lista de $n$ números enteros. Si suma todos sus números, obtiene 6. Si los multiplica, también obtiene 6. Encuentra todos los posibles valores para $n$. 

Problema

P5. Dos circunferencias, una perpendicular.

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:12.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $\omega$ su circuncírculo. Sea $\Gamma$ un círculo con centro $A$ de forma que corta al arco $AB$ que no contiene a $C$ de $\omega$ en un punto $D$ y al arco $AC$ que no contiene a $B$ de $\omega$ en un punto  $E$. Sea $K$ la intersección de $BE$ con $CD$ de tal forma que $K$ esté sobre $\Gamma$. Demuestra que $AK$ es perpendicular a $BC$.

Problema

P4. Ceros y Unos en un pizarrón.

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:08.
Sea $n$ entero positivo. Hay $2n$ números escritos en el pizarrón: $n$ 0’s y $n$ 1’s. Una movida consiste en escoger dos números del pizarrón, borrarlos y escribir 0 si eran iguales o 1 si eran distintos. Despues de hacer varias movidas, queda solo un número.
  • ¿Para qué valores de $n$ te puede quedar un número par?
  • ¿Para qué valores de $n$ te puede quedar un número impar?
    
Problema

P3. Desigualdades en un selectivo

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:05.

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=\frac{1}{8}$. Demuestra que: \[a^2+b^2+c^2+a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\geq\frac{15}{16}\]

Problema

P2. Los monos de Daniel

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:02.

Daniel tiene 1600 plátanos y 100 monos. Él va a repartir sus plátanos entre sus 100 monos (pero no de forma justa, algunos tendrán más plátanos que otros, incluso habrá monos que no reciban ningún plátano). Demuestra que al menos 4 monos tendrán la misma cantidad de plátanos.

Problema

P1. Repaso de la cantidad de divisores de un número.

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:00.
Un entero positivo $n$ tiene exactamente 2 divisores, mientras que el número $n + 1$ tiene exactamente 3
divisores. ¿Cuál es la mayor cantidad de divisores que puede tener el número $n + 2$?
Problema

3.- Los delegados de Tamaulipas jugando una modificación de ajedrez

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 13:57.

Considera un tablero de ajedrez de $8 \times 8$. Orlando y Moisés juegan alternando turnos, comenzando por Orlando. Cada uno en su turno coloca un alfil en alguna casilla del tablero vacía, de tal forma que los alfiles no se ataquen entre sí. Pierde el jugador que coloque un alfil que sea atacado por otro previamente. Si los alfiles son del mismo color (es decir, o tienen puros alfiles blancos o puros alfiles negros), determina quién tiene una estrategia ganadora y descríbela. 
Nota: un jugador puede atacarse a sí mismo. 

Problema

2.- Ecuación de ternas en progresión Geométrica

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 13:47.

Determina todas las ternas de números naturales $(a,b,c)$ con $0<a<b<c$ en progresión geométrica para las cuales se cumplen las siguientes dos ecuaciones: 

$$a+b+c=35$$

$$a^2+b^2+c^2=525$$

Problema

1.- Aprovecha el radio con isósceles.

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 13:40.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $ABC=60$° y sea $O$ su circuncentro de tal forma que $CBO=45$°. La recta $BO$ corta al segmento $AC$ en $D$. Demuestra que el triángulo AOD es isósceles y encuentra la medida de sus ángulos.  

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Comentarios del Estatal de 2024

Enviado por Samuel Elias el 29 de Septiembre de 2024 - 12:25.

Particularmente este año, he sentido algo complicado el proceso selectivo. Se nos han juntado muchas fechas, hemos tenido que revisar a altas horas de la noche y conseguir apoyo a terceros es cada vez más complicado. 

Sobre el examen, daré mis comentarios por problema (los problemas ya se publicaron en la sección de problemas, ver Estatal 2024). 

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