Publicaciones Recientes
Sobre la utilidad de las construcciones geométricas
De mis tiempos de escuelante recuerdo dos construcciones geométricas: el triángulo equilátero y el hexágono. Nada más fácil que tomar el compás, abrirlo a la medida del lado y hacer arcos que marcan los vértices. La justificación del por qué funcionan no era algo que se preguntara por el profesor ni era de nuestro interés adolescente.
El estudiante medianamente responsable hace las tareas de acuerdo al procedimiento, interpretado éste de manera literal, y se olvida (mejor dicho, se va con los amigos). Tampoco se preguntaba uno para qué servía eso.
Interactivo de rectas notables de un triángulo
AlturasDefinición: Recta perpendicular a un lado bajada desde su vértice opuesto. |
|
|
|
|
Uno de "si y sólo si" con escaleno
Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB>AC>BC$. Sea $D$ un punto sobre el lado $AB$ de tal manera que $CD = BC$, y sea $M$ el punto medio del lado $AC$. Muestra que $BD = AC$ si y sólo si $\angle{BAC} = 2\angle{ABM}.$
Cambios de estado en cuadrícula 6X6 --con luciérnagas
En cada cuadrado de una cuadrícula de $6\times6$ hay una luciérnaga apagada o encendida. Una movida es escoger tres cuadrados consecutivos, ya sean los tres verticales o los tres horizontales, y cambiar de estado a las tres luciérnagas que se encuentran en dichos cuadrados. (Cambiar de estado a una luciérnaga significa que si está apagada se enciende y si está encendida se apaga.) Muestra que si inicialmente hay una luciérnaga encendida y las demás apagadas, entonces no es posible hacer una serie de movidas tales que al final todas las luciérnagas estén apagadas.
Composición de la función "suma de sus dígitos"
Para un entero positivo $ n $ se definen $n_1$ como la suma de los dígitos de $ n $, $n_2$ como la suma de los dígitos de $n_1$, y $n_3$ como la suma de los dígitos de $n_2$.
Por ejemplo para $n = 199$, $n_1 = 199_1 = 19, n_2 = 199_2 = 10$ y $n_3 = 199_3 = 1$.
Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(m, n)$ tales que:$$m + n = 2007$$ $$m_3 + n_3 = 2007_3$$
Desigualdad homogenea
Sean $a, b, c$ números reales positivos que satisfacen $a+b+c = 1$.
Muestra que: $$\sqrt{a + bc} + \sqrt{b + ca} + \sqrt{c + ab}\leq 2.$$
Lugar geométrico equiangular
Dado un triángulo equilátero $ABC$, encuentra todos los puntos $P$ del plano que cumplan $\angle{APB} = \angle{BPC}$.
Diez consecutivos son divisores --pero no 11
Encuentra todos los enteros positivos $N$ con la siguiente propiedad: entre todos los divisores positivos de $N$, hay 10 números consecutivos, pero no 11.
La arista es el MCD de sus vértices
En los vértices de un cubo están escritos 8 enteros positivos distintos, uno
en cada vértice. Y en cada una de las aristas está escrito el máximo común
divisor de los números que están en los 2 vértices que la forman. Sean $A$ la suma de los números escritos en las aristas y $V$ la suma de los números escritos en los vértices.
- (a) Muestra que $\frac{2}{3}A\leq V$.
- (b) ¿Es posible que $A = V$?
Juego de caballeros
Los caballeros $C_1,C_2,\ldots,C_n$, del Rey Arturo, se sientan en una mesa
redonda de la siguiente manera:
El rey decide realizar un juego para premiar a uno de sus caballeros. Iniciando con $C_1$, y avanzando en el sentido de las manecillas del reloj, los caballeros irán diciendo los números 1, 2, 3, luego 1, 2, 3, y así sucesivamente (cada caballero dice un número). Cada caballero que diga 2 ó 3 se levanta inmediatamente y el juego continúa hasta que queda un solo caballero: el ganador.
