Números

Si $ p $ y $ q $ son primos, entonces $p^{q-1}+q^{p-1}-1$ es múltiplo de $pq$

Sea $ p $ un primo y $ r $ un entero positivo. ¿Cuántos enteros positivos menores que $p^r$ son primos con $p^r$?

Sea $p$ un primo, $a$ un elemento de $\{1,2,3,...,p-1\}$ y $a$ tal que $a^2\equiv 1 \pmod {p}$. Encontrar los posibles valores de $a$.

Encontrar las tres últimas cifras de $2009^{9999}$ (argumento fiador requerido).

Encontrar todos los primos $q$ tales que $4+2^q$ es múltiplo de $2q.$

Si $p$ es un primo impar y $a$ es primo con $p$, entonces $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv \pm 1 \pmod{p}$. (Por ejemplo, todo cuadrado perfecto primo con 5 termina en 1 o en 9 o en 4 o en 6.)
 

Encontrar todas las parejas $(x,y)$ de dígitos, tales que el número $2x1y9$ sea múltiplo de 101.

Encontrar todos los números enteros positivos de cuatro cifras de la forma $n=abab$ (la primera y la tercera cifras son iguales, así como la segunda y la cuarta) y tales que el producto de sus cifras divide a $n^2$.

Demostrar que en un conjunto de 18 números enteros positivos, consecutivos y  menores o iguales a 2009, hay uno que es divisible entre la suma de sus cifras.

Encontrar todas las soluciones $(x,y)$ en enteros positivos de la ecuación diofantina $x^3=19+y^3$