Básico

Del conjunto de números $\{1,2,...,99,100\}$ se eligen 50. Si la suma de los números elegidos es 2900, calcular el número mínimo de números pares entre los 50 elegidos.

El producto N de tres números enteros positivos es 6 veces la suma de tales números, y uno de los enteros es la suma de los otros dos. Calcular la suma de todos los valores posibles de N.

Si $ p $ y $ q $ son primos, entonces $p^{q-1}+q^{p-1}-1$ es múltiplo de $pq$

Sea $ p $ un primo y $ r $ un entero positivo. ¿Cuántos enteros positivos menores que $p^r$ son primos con $p^r$?

Sea $p$ un primo, $a$ un elemento de $\{1,2,3,...,p-1\}$ y $a$ tal que $a^2\equiv 1 \pmod {p}$. Encontrar los posibles valores de $a$.

Encontrar todos los primos $q$ tales que $4+2^q$ es múltiplo de $2q.$

Encontrar todas las soluciones $(x,y)$ en enteros positivos de la ecuación diofantina $x^3=19+y^3$
 

Decidir --con prueba-- si la ecuación diofantina $123x+426y=8$ tiene solución.
 

Si $a, b$ son enteros y cumplen $7a-38b=-2$ ¿qué se puede concluir sobre el máximo común divisor de a y b?

En un cubo de arista 6 los puntos medios B,D de dos aristas opuestas, y dos vértices opuestos A,C pero no en las aristas de los puntos medios B,D,  forman un cuadrilátero ABCD. Encontrar el área de ese cuadrilátero.