Básico

Sean PQ, RS  y TU cuerdas de una circunferencia tales que PQ=RS=TU, y éstas no se intersectan dentro de la circunferencia. UP corta a QR en A, QR corta a ST en B y ST corta a UP en C. Sean L, M y N los puntos medios de PQ, RS y TU respectivamente. Demostrar que AL, BM y CN son concurrentes.

Fui a la librería y me gustó un libro (Cómo ser feliz en 7 lecciones). Compré varios ejemplares para regalar en Navidad a mis amistades. Por eso la señorita me hizo un descuento de 10 pesos por cada copia. Pagué 1200 pesos. Sin ese descuento, con los 1200 hubiera comprado 4 libros menos.

Hace 10 años Jesús tenía la misma edad que Lourdes tiene ahora. Dentro de 7 años Madonna tendrá dos veces la edad de Jesús, aunque actualmente tiene 3 años más que cuatro veces la edad de Lourdes.

¿Cuántos triángulos hay en la figura?
 

Del conjunto de números $\{1,2,...,99,100\}$ se eligen 50. Si la suma de los números elegidos es 2900, calcular el número mínimo de números pares entre los 50 elegidos.

El producto N de tres números enteros positivos es 6 veces la suma de tales números, y uno de los enteros es la suma de los otros dos. Calcular la suma de todos los valores posibles de N.

Si $ p $ y $ q $ son primos, entonces $p^{q-1}+q^{p-1}-1$ es múltiplo de $pq$

Sea $ p $ un primo y $ r $ un entero positivo. ¿Cuántos enteros positivos menores que $p^r$ son primos con $p^r$?

Sea $p$ un primo, $a$ un elemento de $\{1,2,3,...,p-1\}$ y $a$ tal que $a^2\equiv 1 \pmod {p}$. Encontrar los posibles valores de $a$.

Encontrar todos los primos $q$ tales que $4+2^q$ es múltiplo de $2q.$