Básico

Sean $x,y,z$ números reales positivos y $\sigma_1=x+y+z$, $\sigma_2=xy+yz+zx$, $\sigma_3=xyz$. Demostrar que si $\sigma_3=\sigma_1+2$, entonces existen números $a,b,c$ reales positivos tales que $$x=\frac{b+c}{a},y=\frac{c+a}{b},z=\frac{a+b}{c}$$
 

Sean $x,y,z$ números reales positivos y $\sigma_1=x+y+z$, $\sigma_2=xy+yz+zx$, $\sigma_3=xyz$, los polinomios simétricos elementales para tres variables. Demostrar que $1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)=1$ si y sólo si $\sigma_3=\sigma_1+2$. (En otras palabras, las ecuaciones $1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)=1$ y $xyz=x+y+z+2$ pueden ser transformadas una en la otra mediante operaciones algebraicas.)

Sea dado un trapecio isósceles ABCD. Demostrar:

Si la altura y la línea media (unión de los puntos medios de sus lados) son congruentes entonces sus diagonales son perpendiculares.

Decir también si la recíproca se cumple (con prueba o contraejemplo).

a) Demostrar que para todas las parejas $a,b$ de números reales se cumplen las desigualdades:
$$(a^2+1)(b^2+1)\geq(ab+1)^2$$
$$(a^2+1)(b^2+1)\geq(a+b)^2$$
b) Decir, con prueba, para qué valores se cumple la igualdad en cada una de las desigualdades anteriores.

c) Encontrar todas las soluciones $(x,y)$ en números reales, de la ecuación $(x^2+1)(y^2+1)=(xy+1)(x+y)$

Cada uno de los 61 competidores en el concurso estatal saludó de mano al menos a otro competidor. Demostrar que alguno de ellos saludó de mano al menos a dos competidores.

Demostrar que el número 100...001, el cual tiene doscientos ceros intermedios, es múltiplo de 1001.

Sean $x,y$ números reales no negativos. Demostrar que se cumple la desigualdad
$$(x+y^3)(x^3+y)\geq{4x^2y^2}$$
¿En qué casos se logra la igualdad?

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $B$. Sean $D$ el pie de la altura desde $B$, $E$ el punto medio de $CD$ y $F$ un punto sobre la recta por $A$ y $B$ de manera que $BA=AF$. Muestra que las rectas $BE$ y $FD$ son perpendiculares.

El pentágono ABCDE es tal que AB=BC y CD=DE, y sus ángulos en A,C, y E son rectos. Encontrar la medida del ángulo ECA.

El triángulo ABC es rectángulo en C, y las bisectrices de sus ángulos en A y B cortan los lados BC y CA en P y Q respectivamente. Los puntos M y N sobre el lado AB son los pies de las perpendiculares bajadas desde P y Q, respectivamente. ¿Cuánto vale el ángulo MCN?