Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
L1.P23 (Un clásico --para terminar la lista)
Encontrar todas las soluciones en enteros positivos de la ecuación $1/x+1/y+1/z=1.$
L1.P20 (2009 como suma de impares)
El número 2009 se puede expresar como suma de $ n $ enteros impares consecutivos ($n\geq 2$) en varias formas. ¿Cuál es el menor valor posible de $ n $?
L1.P18 (Producto de 3 dígitos)
¿Cuántos números $abc$ de tres dígitos son tales que al multiplicar los dígitos se obtiene un producto mayor que 60 pero menor que 65?
L1.P12 (Uno del 2009)
Encontrar el residuo en la división de $a+b+c$ entre $b$, donde $a,b,c$ son primos y cumplen la ecuación $2009=a^b(c).$
L1.P9 (Dimes y quarters)
Ana fue a McAllen el fin de semana con sus papás. Éstos le regalaron dimes (10 centavos) y quarters (25 centavos). Si los dimes fuesen quarters y los quarters fueran dimes Ana tendría un dollar y 5 centavos (de dollar) menos de lo que ahora tiene.
L1.P8 (Generalización del L1.P7)
Demostrar que si $ k,n$ son enteros positivos sin divisores en común ($k,n$ primos relativos), entonces el máximo entero positivo que no se puede expresar como suma de múltiplos de $k$ y $n$ es $kn-k-n.$
L1.P7 (No expresable como n=4x+5y)
Encontrar el máximo entero positivo $ n $ que no se puede expresar en la forma $n=4x+5y$, con $x,y$ enteros positivos.
L1.P3 (Menor entero que no divide a 69!)
Para un entero positivo $ n $, el factorial de $ n $ (denotado con $n!$) es $n!=(n)(n-1)(n-2)...(3)(2)(1)$. Encontrar el menor entero positivo (distinto de 1) que no divide a 69!
Lista1.Problema1 (Residuo de 155/n)
El residuo que deja 80 al dividir entre un número entero positivo $ n $ es 4 ¿Cuál es residuo que deja 155 al dividirlo entre $ n $?
Problema 1(N)
El numero de la suerte del delegado es de tres y tiene la propiedad de que al restarle 7 el resultado es divisible entre 7, al restarle 8 el resultado es divisible entre 8 y al restarle 9 el resultado es divisible entre 9. ¿Cual es el numero de la suerte del delagado?
Suma cuadrática de 3 dígitos
¿Cuantas ternas de digitos diferentes $(x,y,z)$ es posible formar, de modo que la suma $x^2+y^2+z^2$ sea multiplo de 5? Nota: las ternas $(0,1,3)$ y $(1,0,3)$ son diferentes.
Artificio de reducción --por combinaciones lineales
¿Para qué valores de $ n $ (entero positivo), los números $n^2+1$ y $(n+1)^2+1$ no son primos relativos?
(2 por 1): Dos trucos, dos problemas --de divisibilidad
a) Calcular el Máximo Común Divisor (MCD) de $4a^2+1$ y $2a-1$, donde $a$ es un entero positivo cualquiera.
b) Calcular el residuo de $2009^{2008}$ al dividir entre 9.
No divisibilidad
Demostrar que no existen $a$ y $b$ >2, enteros positivos, para los cuales: $2^b-1$ divide $2^a+1$
Maratón
Ximena y Yadira participan en un maratón: el recorrido es del punto $A$ al $B$ y de regreso de $B$ a $A$. La distancia entre $A$ y $B$ es de $p^2qr$ km, con $p,q,r$ primos en orden creciente.
Interrupción de la impudicia --en Cerdeña
Las fotos liberadas en la prensa española develaron el secreto del culto contemporáneo a Vesta. Vesta era la diosa del hogar, y es conocida más por sus sacerdotisas, quienes se encargaban de mantener encendido el fuego sagrado, símbolo de la prosperidad de la antigua Roma.
Domingo Siete y los tazos de Pokemon
Dominguito Siete se reune cada domingo con sus amigos y lleva tazos de Pokemon. Cuando el número de tazos es múltiplo de 7, los reparte a partes iguales entre sus 6 amigos y él. De otra manera no reparte, sino que compra más tazos (durante la semana): si el número de tazos es impar, compra 7; y si es par, compra 6 veces la cantidad que tiene más otros 5. Si después de 2 domingos de reunirse con sus 6 amigos, se da cuenta que tiene 41 tazos. ¿Cuántos tenía inicialmente?
El fácil del Regiones 2009
¿Cuántos números $abcd$ de 4 dígitos distintos, múltiplos de 36 y menores que 4000 son tales que el producto de $ab$ por $cd$ es múltiplo de 7? Nota: el número 1980 $(a=1, b=9,c=8,d=0)$ es menor que 4000, es múltiplo de 36 y es de dígitos distintos, pero no cumple la condición de que $19\cdot{80}$ sea múltiplo de 7.
Diofantina condicionada
Encontrar todos las parejas de enteros positivos $(x, y)$ que sean solución de la ecuación diofantina $20x+9y=2009$, y que además sean cuadrados perfectos consecutivos. Nota: $(x,y)=(100,1)$ y $(x,y)=(1,221)$ son soluciones de la ecuación diofantina pero no cumplen la condición.
Propiedades del máximo común divisor
Demostrar las siguientes propiedades del máximo común divisor de dos números $a$ y $b.$ Nota: hay dos formas usuales de notación para el máximo común divisor, MCD$(a,b)$ o simplemente $(a,b)$.