Problemas

¿Cuántos divisores tiene el número 120?

Sean $1=d_1 < d_2 < d_3 \cdots < d_k = n$ los divisores del entero positivo $ n $. Encuentra todos los números $ n $ tales que $n = d_2 ^ 2 + d_3^3$.

 Kika tiene $ n $ objetos. Un día llega de la escuela y… ¡Abuelo! ¡Abuelo! Perdí $ x $. Y el abuelo la consuela: piensa en que si hubieses encontrado $ x $, ahora tendrías $ y $ veces los que ahora tienes. Encontrar todas las parejas $(x, n)$ en términos de $ y $, para que el diálogo entre la niña y el abuelo tenga sentido en enteros positivos ($x, y, n$ enteros positivos).

(El problema original dice: perdí 2. Y el abuelo dice: si hubieses encontrado 2 ahora tendrías 5 veces los que ahora tienes.)

Demuestre que hay una infinidad de enteros positivos $ n $ tales que la suma de los divisores positivos del número $2008^n-1$ es divisible entre $ n $.


 

Sea $f(n)=5n^{13}+13n^5+9an$. Encontrar el mínimo entero positivo$ a $ para el cual $f(n)$ es divisible entre $65$ para cada entero $ n $.

Demostrar que tres cuadrados perfectos en progresión aritmética tienen una diferencia constante que es múltiplo de 24.(En otras palabras, si $c^2 - b^2 = b^2 - a^2 = d$, entonces $ d $ es múltiplo de 24.)

Demuestra que existen infinitos enteros n tales que n² + 1 tiene un divisor primo mayor que $2n+\sqrt{2n}$.