Problemas - Álgebra
Parejas especiales
Una pareja de enteros es especial si es de la forma $(n,n-1)$ o de la forma $(n-1,n)$ con $n$ un entero positivo. Muestra que una pareja $(n.m)$ de enteros positivos que no es especial, se puede representar como suma de dos o más parejas especiales diferentes si y sólo si los enteros $n$ y $m$ satisfacen la desigualdad $n+m\geq(n-m)^2$.
Nota: la suma de dos parejas se define como $(a.b)+(c,d)=(a+c,b+d)$
Problema de álgebra --realmente difícil
Calcular la medida de los catetos $a,b$ de un triángulo rectángulo de área 4 e hipotenusa $\sqrt{27}$.
Relación desfasada de edades
Beto tiene el doble de la edad que Sandra tenía cuando Beto era de la edad que ahora tiene Sandra. Cuando Sandra tenga la edad que ahora tiene Beto, la suma de sus edades será 45 años. ¿Qué edad tienen?
Velocidad promedio de un viaje
Miguel viajó en su auto de la ciudad $P$ a la ciudad $Q$. En la primera hora recorrió 1/3 de la distancia entre las ciudades y en la segunda 1/5. Llegó a su destino después de dos horas más durante las cuales viajó a una velocidad de 42 km/h. Calcular la velocidad promedio de todo el viaje. (Nota: la velocidad promedio se define como distancia/tiempo.)
Eficiencia ensayística estudiantil
Abel y Brenda estudian sociología en la universidad. Para elaborar sus ensayos de fin de cursos utilizan el método estándar de copiar (de la Web) y pegar (en su ensayo). Usando Google Drive pueden elaborar juntos (pero cada quien desde su laptop) un ensayo de 48 páginas en 6 horas. Sin embargo, trabajando solo, Abel se tarda 16 horas más que Brenda --para elaborar un ensayo de 48 páginas . ¿Cuánto tarda Brenda para elaborar un ensayo de 48 páginas --usando copy and paste e independientemente de calidad?
Calcular una proporción
Un grupo de $n$ alumnos presentó el examen de admisión en una universidad. Si se sabe que pasaron exactamente 2/3 de los varones y exactamente 3/4 de las mujeres, y que el número de mujeres que pasaron es igual al número de varones que pasaron el examen, calcular el porcentaje de alumnos que pasaron el examen.
Valor de una suma dadas ciertas condiciones
Los enteros positivos $a,b,c$ satisfacen el sistema
$$c^2-a^2-b^2=101$$
$$ab=72$$
Encontrar el valor de $a+b+c$
El club social
Un club social de juniors y seniors tiene 15 miembros. Si hubiese 7 juniors más y 3 seniors más, la razón de juniors a seniors sería de 2/3 (2 juniors por cada 3 seniors). ¿Cuántos juniors tiene el club social?
Un problema de edades realmente difícil
Beto tiene el doble de la edad que Sara tenía cuando Beto era de la edad que ahora tiene Sara. Si la suma de las edades de Sara y Beto es 28 años, calcular sus edades.
Conjuntos cuadrilibres
Un subconjunto del conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} se dice cuadrilibre si la suma de los elementos de cualquier subconjunto de él no es un cuadrado. Por ejemplo, el subconjunto {1,3,8} no es cuadrilibre ya que tanto {1} como {1,8} son subconjuntos de él. ¿Cuál es el tamaño más grande que puede tener un subconjunto cudrilibre?