Problemas - Álgebra
Método "Busca donde hay luz"
Encontrar todas las tripletas de enteros (a,b,c) tales que el producto de dos de ellos más el tercero sea la unidad (o sea el 1).
Ecuaciones funcionales
Resolver las siguientes ecuaciones funcionales.
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Encontrar $p(x)$ de tal manera que $p(x+1)=p(x)+2x+1$.
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Encontrar $f(x)$ de tal manera que $f(x+1)=x^2-3x+2$.
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Lo mismo para $$ f(\frac{x+1}{x})=(\frac{x^2+1}{x^2})+1/x $$
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$f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)$.
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Para $x>0$, $f(xy)=xf(y)+yf(x)$.
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$f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x$.
Fórmulas de Vieta
Encontrar todas las soluciones del siguiente sistema de tres ecuaciones en tres incógnitas.
Soluciones de una cuadrática
Sean $x_1$ y $x_2$ dos soluciones distintas de la ecuación cuadrática:
$Ax^2+Bx+C=0$
Demuestra que $$ (x_1-x_2)^2 = \frac{(B/2)^2 -AC}{A^2} $$
IMO 2004, problema 2
Encuentre todos los polinomios $P(x)$ tales que
$$P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c)$$
para todo $a, b, c$ reales que satisfacen que $ab+bc+ca=0$.
Una sucesión no acotada
Considere la sucesión $a_0, a_1, a_2,\dots $ de enteros construida como sigue:
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$ a_0 > 5 $ es impar,
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$ a_{n+1} = a_n/2 $ si $ a_n $ es par,
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y $a_{n+1} ={a_n}^2-5$ si $ a_n $ es impar.
Demostrar que la sucesión es no acotada.
USAMTS (Problema 5)
Sea c un número real. La sucesión $a_1,a_2, a_3,\dots$ está definida por $a_1=c$ y $a_n = 2a_{n-1}^2 -1$ , para todo $n \geq 2$ . Encontrar todos los valores de para los cuales $a_n <0$ para toda n.