Álgebra

Sea $ n $ un entero positivo. Una baraja de $2n$ cartas contiene exactamente dos cartas marcadas con cada uno de los enteros $1,2,\ldots,n.$  Las cartas se ordenan en la forma $1,1,2,2,3,3,...,n,n.$  La baraja ya ordenada de esta manera se parte, y resulta que, en las dos partes, los dígitos en las cartas suman la misma cantidad.

Determinar todas las funciones f del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los enteros positivos tales que, para todos los enteros positivos a y b, existe un triángulo no degenerado cuyos lados miden

$$a, f(b)  \textrm{ y } f(b + f(a) - 1)$$

(Un triángulo es no degenerado si sus vértices no están alineados).

Sea $s_1, s_2, s_3, \ldots $ una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tal que las
subsucesiones
$$s_{s_1} , s_{s_2} , s_{s_3} ,\ldots \textrm{ y } s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, \ldots $$
son ambas progresiones aritméticas. Demostrar que la sucesión $s_1, s_2, s_3, . . .$ es también una progresión

Sea $ n $ un entero positivo y sean $a_1,a_2,...,a_k (k\geq 2)$ enteros distintos del conjunto $ {1,...,n} $, tales que $ n $ divide a $a_i(a_{i+1}-1)$, para $i=1,..., k-1$. Demostrar que $ n $ no divide a $a_k(a_1-1)$.

Considere la sucesión $a_1=1$ y, para $ n $ mayor que 1, $a_n=1+2a_{n-1}.$ Encontrar una fórmula para el término n-ésimo y demostrarla por inducción.

La ecuación $x^2+bx+2=0$ tiene solamente una raíz. Determinar los valores de $b$.

Si $p^2+1/p^2=7$, con $p$ entero positivo, encontrar el valor de $p+1/p.$

Una cuadrilla de jardineros recortó el pasto de dos prados, uno de doble área que el otro. Durante media jornada  toda la cuadrilla trabajó en el prado grande; después de la comida, la mitad trabajó en el prado grande y la otra en el pequeño.

Un equipo de pasteleros está compuesto por el viejo panadero y 9 estudiantes. Un cierto día el viejo panadero horneó 9 pasteles más que el promedio de todo el equipo (incluyéndolo a él). Si se sabe que ese día cada estudiante horneó 15 pasteles ¿cuántos pasteles fueron horneados por todo el equipo?

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

$$x^4 +6x^3 +11x^2 +6x +1$$

$$x^4 +6x^3 +11x^2 +6x$$

Genera un problema de concurso, en vista de las dos factorizaciones.