Problemas - Teoría de números
Suma cuadrática de 3 dígitos
¿Cuantas ternas de digitos diferentes $(x,y,z)$ es posible formar, de modo que la suma $x^2+y^2+z^2$ sea multiplo de 5? Nota: las ternas $(0,1,3)$ y $(1,0,3)$ son diferentes.
Artificio de reducción --por combinaciones lineales
¿Para qué valores de $ n $ (entero positivo), los números $n^2+1$ y $(n+1)^2+1$ no son primos relativos?
(2 por 1): Dos trucos, dos problemas --de divisibilidad
a) Calcular el Máximo Común Divisor (MCD) de $4a^2+1$ y $2a-1$, donde $a$ es un entero positivo cualquiera.
b) Calcular el residuo de $2009^{2008}$ al dividir entre 9.
No divisibilidad
Demostrar que no existen $a$ y $b$ >2, enteros positivos, para los cuales: $2^b-1$ divide $2^a+1$
Maratón
Ximena y Yadira participan en un maratón: el recorrido es del punto $A$ al $B$ y de regreso de $B$ a $A$. La distancia entre $A$ y $B$ es de $p^2qr$ km, con $p,q,r$ primos en orden creciente.
Interrupción de la impudicia --en Cerdeña
Las fotos liberadas en la prensa española develaron el secreto del culto contemporáneo a Vesta. Vesta era la diosa del hogar, y es conocida más por sus sacerdotisas, quienes se encargaban de mantener encendido el fuego sagrado, símbolo de la prosperidad de la antigua Roma.
Domingo Siete y los tazos de Pokemon
Dominguito Siete se reune cada domingo con sus amigos y lleva tazos de Pokemon. Cuando el número de tazos es múltiplo de 7, los reparte a partes iguales entre sus 6 amigos y él. De otra manera no reparte, sino que compra más tazos (durante la semana): si el número de tazos es impar, compra 7; y si es par, compra 6 veces la cantidad que tiene más otros 5. Si después de 2 domingos de reunirse con sus 6 amigos, se da cuenta que tiene 41 tazos. ¿Cuántos tenía inicialmente?
El fácil del Regiones 2009
¿Cuántos números $abcd$ de 4 dígitos distintos, múltiplos de 36 y menores que 4000 son tales que el producto de $ab$ por $cd$ es múltiplo de 7? Nota: el número 1980 $(a=1, b=9,c=8,d=0)$ es menor que 4000, es múltiplo de 36 y es de dígitos distintos, pero no cumple la condición de que $19\cdot{80}$ sea múltiplo de 7.
Diofantina condicionada
Encontrar todos las parejas de enteros positivos $(x, y)$ que sean solución de la ecuación diofantina $20x+9y=2009$, y que además sean cuadrados perfectos consecutivos. Nota: $(x,y)=(100,1)$ y $(x,y)=(1,221)$ son soluciones de la ecuación diofantina pero no cumplen la condición.
Propiedades del máximo común divisor
Demostrar las siguientes propiedades del máximo común divisor de dos números $a$ y $b.$ Nota: hay dos formas usuales de notación para el máximo común divisor, MCD$(a,b)$ o simplemente $(a,b)$.