Problemas - Teoría de números
Factores de 39
Si $m, n$ son enteros positivos que cumplen la ecuación $m^n+m^{n+1}+m^{n+2}=39$ encuentra sus valores (todos los posibles).
Quita y pon canicas.
El siguiente juego de canicas involucra un sólo jugador. Se ponen muchas canicas en una caja.
P1 OMM 2004 - Problema 1
Encuentra todos los números primos $p,q, r$ con $p$<$ q$ <$r$ , que cumplan
con $25pq+ r= 2004$ y que $pqr+ 1 $ sea un cuadrado perfecto
Ternas Pitagóricas (parte 3)
Demostrar que en cualquier terna pitagórica primitiva $a^2+b^2=c^2$, exactamente dos de los números $a, b, c$ son impares. (Primitiva significa sin divisores en común.)
Ternas Pitagóricas (parte 2)
Demostrar que en cualquier terna pitagórica $a^2+b^2=c^2$, al menos uno de los números a, b, c es divisible entre 5.
Problema 6 OMM 2003
Dado un entero $n$ un cambio sensato consiste en sustituir $n$ por $2n+1$ ó $3n+2$. Dos enteros positivos $a$ y $b$ se llaman compatibles si existe un entero que se puede obtener haciendo uno o más cambios sensatos, tanto a partir de $a$, como a partir de $b$. Encuentra todos los enteros positivos compatibles con $2003$ menores que $2003$.
Problema 5, ONMAS 2007
Sean $a, b$ dos enteros tales que $2007 a = 7002b$. Demostrar que $a+b$ no es primo.
Problema 5 OMM 2003
Problema 5. Se escriben en tarjetas todas las parejas de enteros $(a,b)$ con $1\leq a\leq b \leq 2003$. Dos personas juegan con las tarjetas como sigue: cada jugador en su turno elige $(a,b)$ (que se retira del juego) y escribe el producto ab en el pizarrón (ambos jugadores usan el mismo pizarrón). Pierde el jugador que ocasione que el máximo común divisor de los números escritos hasta ese momento sea $1$. ¿Quién tiene la estrategia ganadora? (Es decir, ¿cuál de los dos jugadores puede inventar un método que asegure su tirunfo?)
Cálculo inteligente
¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?
$(12, 345, 678)^2 - (12, 345, 677) \times (12, 345, 679)$
Problema 1 OMM 2003
Problema 1. Dado un número $k$ de dos o más cifras, se forma otro
entero $m$ insertando un cero entre las cifras de las unidades y
de las decenas de $k$. Encuentra todos los números $k$ para los
cuales $m$ resulta ser un múltiplo de $k$.