Publicaciones Recientes
Edu's Favorite Reflection
El punto de reflexión en dos circunferencias iguales.
El día de ayer me encontraba viendo el p5 de la OMM 2010 con Eduardo Ortiz Salles. El chiste era encontrar una solución diferente a la que está escrita en matetam y a la de AOPS. Después de mucha cacería de ángulos usando la configuración del Ortocentro-Punto Medio, le dije a Eduardo "el problema sale si esto vale verde"... y Eduardo dice, "Esto si vale verde porque estas dos son paralelas". (El contexto lo verán en la solución del problema).
Para llegar a esas paralelas, tenía que cumplirse el siguiente enunciado:
Comentarios del Estatal 2025
Ya hablé del femenil, ahora toca hablar del concurso Estatal. El evento presencial más grande del año en Tamaulipas.
Problema 1: Sabiendo separadores y la fórmula de $\frac{n!}{p_1!p_2!\dots p_k!}$ el problema se mata en 1 minuto. De no ser así, haciéndote la talacha completa pudo haber sido otra forma... (cero recomendado)
Problema 2: Aquí había que darse cuenta que sumar el doble es equivalente a multiplicar por 3. El resto era poner la respuesta.
Resultados IV OMMFEM
Tamaulipas no deja de traer excelentes resultados en sus concursos. Sé que muchos dirán que tuvimos un bajón esta XXXVIII OMM, pero la neta era de esperarse. I) Casi no entrenamos, II) todos eran repetidores (excepto Edu), III) el examen estuvo difícil.
Aún así, esta femenil fue el escenario perfecto para demostrar que nuestro estado sigue como el Dani nos lo dejó, trayendo 1 medalla de oro y 1 medalla de bronce. Los resultados por concursante fueron los siguientes:
Nivel I:
- Alma Carolina Reyna Moreno, ORO
- Mía Navil Ávalos Covarrubias
- Vanessa Yushigey Osorio Muñoz
Nivel II:
P8. Permutando 2n números y múltiplos.
Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(n, m)$ que cumplan lo siguiente: existe un entero impar $r$ con $0<r \leq m-1$, y una permutación $\{a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n\}$ de $\{2, 3, \dots , 2n, 2n+1\}$ tales que los $n$ números
$$a_1b_1-r, a_2b_2-r, \dots , a_nb_n-r$$
son todos múltiplos de $m$.
P7. Contando el producto ij.
Sea $n$ un entero positivo. Se numeran los renglones y las columnas de una cuadrícula de $n \times n$ del 1 al $n$. Dentro de cada cuadrito se escribe un entero no-negativo de manera que el entero escrito en el cuadrito del renglón $i$ y la columna $j$ es igual a la cantidad de cuadritos que tienen escrito el producto $i \cdot j$. Determina de cuántas maneras se puede hacer esto.
P6. Razones entre cíclicos dobles y pies de perpendicular.
Sea $ABCD$ un cuadrilatero cíclico y $E$ el punto de intersección de sus diagonales. La circunferencia que pasa por los vértices del triángulo $BEC$ corta a la recta $AB$ en $F$ y a la recta $CD$ en $G$. Sea $P$ el pie de la perpendicular desde $A$ sobre la recta $BC$ y sea $Q$ el pie de la perpendicular desde $B$ sobre la recta $AD$. Demuestra que:
$$\frac{AF}{DG}=\frac{AP}{BQ}$$
P5. Polinomio con coeficientes en progresión geométrica
Sea $a_0, a_1, a_2, \dots$ una sucesión geométrica estrictamente creciente. Determina todos los números reales $x$ para los cuales existe $n \geq 0$ tal que:
$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots + a_1x + a_0=0$$
Nota: Una sucesión geométrica es estrictamente creciente si existe una constante $r$ tal que $a_{n+1}=a_n\cdot r$ y además $a_{n+1}>a_n$ para toda $n \geq 0$.
P4. Desigualdades del femenil
Sean $a, b, c, d$ números reales positivos. Demuestra que:
$$\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}\right)^4 \geq \frac{64abcd}{a^4+b^4+c^4+d^4}$$
P3. Ortocentros obtusángulos y colinealidad
Sea $ABC$ un triángulo escaleno con $\angle BAC = 90^{\circ}$, y sea $M$ el punto medio de $BC$. La recta perpendicular a $AM$ por $M$ intersecta a las rectas $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Sean $H_1, H_2$ los ortocentros de los triángulos $CMP$ y $BMQ$ respectivamente. Demuestra que $H_1H_2$ pasa por $A$.
NOTA: el ortocentro es la intersección de las tres alturas.
