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6. Red vs Blue
Sea $n$ un número par. Cada número entero del $1$ al $n$ se colorea de azul o rojo. Sean $x_1 < x_2 < \dots < x_k$ todos los números rojos y $y_{k+1} < y_{k+2} < \dots < y_n$ todos los números azules para algún $0 \le k \le n$. De entre todas las maneras de colorear dichos enteros determina el menor valor que puede tomar la expresión $1x_1 + 2x_2 + \cdots + kx_k + (k+1)y_{k+1} + \cdots + ny_n$ y demuestra que existe una única manera de colorear los enteros para la cual se alcanza dicho mínimo.
5. Un tablero equilibrado
En un tablero de $8\times 8$ se escriben los números del $1$ al $64$ en el orden habitual: en la primera fila aparecen $1,2,\dots,8$; en la segunda, $9,10,\dots,16$; y así sucesivamente hasta la octava fila, que contiene $57,58,\dots,64$. Para cada número del tablero se elige un signo: o bien se deja tal como está, o bien se cambia por su opuesto.
4. Cuadrados gemelos y una suma de lados
Sean $c_1$ y $c_2$ dos cuadrados idénticos que comparten un vértice $A$. Los cuadrados no se enciman y sólo comparten el vértice $A$. Sean $B$ y $C$ los vértices en $c_1$ y $c_2$ respectivamente tales que $AB$ y $AC$ son diagonales de los cuadrados. Sea $D$ un vértice en $c_1$ y $E$ en $c_2$ tales que el segmento $ED$ no interseca al segmento $BC$. Finalmente, sea $F$ el vértice restante en $c_1$ y $G$ el de $c_2$. Demuestra que $BC = DE + FG$.
3. Colinealidad en un cuadrilatero
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $\angle ABC = \angle ADC$. Se consideran puntos $M$, $N$, $P$, $Q$ en los lados $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, respectivamente, tales que $MB = QD$ y $NB = PD$. Sean $R$, $S$, $T$ puntos medios de los segmentos $MQ$, $BD$, $NP$, respectivamente. Demuestre que $R$, $S$ y $T$ son colineales.
2. Ana, Beto y un cubo anillado
Cada cara de un cubo de $2\times 2\times 2$ se divide en $4$ casillas cuadradas (así, el cubo tiene $24$ casillas en total). Definimos un anillo como una sucesión de $8$ casillas tal que cada cara del cubo contiene $0$ o $2$ de estas casillas, y cada una de las $8$ casillas comparte un lado con la anterior y un lado con la siguiente, formando un lazo cerrado alrededor del cubo (hay $6$ anillos).
1. Porcentaje de divisores ≡d(mod10)
Sea d un dígito en base 10 (de 0 a 9). Un entero positivo n se dice d-bueno si más del 50% de sus divisores tienen como último dígito a d.
Determina para cuáles d existen infinitos n que sean d-buenos.
Problema lindo de cross ratio de una lista del javi
En el triángulo $ABC$, sean $I$ el incentro e $I_B$, $I_C$ los excentros correspondientes a $B$ y $C$ respectivamente. Sean $P_B$ el punto donde $BI$ corta a $AC$, y $P_C$ el punto donde $CI$ corta a $AB$. Demuestra que $AI$, $I_CP_B$ e $I_BP_C$ son concurrentes
4. Cuerdas iguales con un cíclico.
Sea $ABC$ un triángulo. La bisectriz del $\angle BAC$ corta al segmento $BC$ en $D$. Sean $E$ y $F$ puntos en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, tal que el cuadrilátero $FEBC$ es cíclico. Sea $G$ la intersección de los circuncírculos de $BED$ y $CFD$. Demuestra que $GF=GE$.
3. Suma de cuadrados en un torneo de liga
En un torneo tipo $\textit{liga}$, hay $n$ jugadores que pueden únicamente ganar o perder (no hay empates). Sea $w_i$ el número de partidas que ganó el jugador $i$ y sea $l_i$ el número de partidas que perdió, para toda $1\le i \le n$. Demuestra que: $$w_1^2+w_2^2+ \dots + w_n^2 = l_1^2+l_2^2 + \dots + l_n^2$$
Nota: un torneo de liga es un torneo donde todos los jugadores juegan contra todos los demás exactamente una vez. Por ejemplo, la fase de grupos del mundial es un torneo de liga.
2. Divisores Cuadrados
Encuentra el menor entero positivo $n$ que tienen al menos cuatro divisores positivos, tales que si $d_1 < d_2 < d_3 < d_4$ son sus cuatro divisores positivos más pequeños, se cumple la relación:$$n = d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + d_4^2$$
