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P4. Divisores propios en una sucesión infinita
Un divisor propio de un entero positivo $N$ es un divisor positivo de $N$ distinto de $N$.
La sucesión infinita $a_1, \ a_2, \dots$ está formada por enteros positivos, cada uno con al menos 3 divisores propios. Para cada $n \geq 1$ el entero $a_{n+1}$ es la suma de los tres mayores divisores propios de $a_n$.
Determina todos los valores posibles de $a_1$.
P3. Funciones Bonza
Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Una función $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ se llama $genial$ si
$$f(a) | b^a-f(b)^{f(a)}$$
Para todos los enteros positivos $a, b$.
Determine la menor constante real $c$ tal que $f(n) \leq cn$, para todas las funciones $geniales \ f$ y todos los enteros positivos $n$.
P2. Paralela tangente a un circuncírculo
Sea $\Omega$ y $\Gamma$ circunferencias de centros $M$ y $N$ respectivamente tales que el radio de $\Omega$ es menor al radio de $\Gamma$. Supongamos que las circunferencias $\Omega$ y $\Gamma$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $B$. La recta $MN$ corta a $\Omega$ en $C$ y a $\Gamma$ en $D$, de forma que los puntos $C, \ M,\ N, \ D$ están en esa recta en ese orden. Sea $P$ el circuncentro del triángulo $ACD$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Omega$ en $E \neq A$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $F \neq A$. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $PMN$.
Demuestre que la recta paralela a $AP$ que pasa por $H$ es tangente al circuncírculo del triángulo $BEF$.
P1. Rectas soleadas
Una recta del plano se llama $soleada$ si no es paralela ni al eje $x$, ni al eje $y$, ni a la recta $x+y=0$.
Sea $n \geq 3$ un entero dado. Determine todos los enteros no negativos $k$ para los que existen $n$ rectas distintas del plano tal que:
- Para cualesquiera enteros positivos $a$ y $b$ con $a+b \leq n+1$, el punto $(a,b)$ está en al menos una de las rectas
- Exactamente $k$ de estas $n$ rectas son soleadas
Empiezan los selectivos rumbo a la OMM
El día de hoy es de mi agrado informar que tendremos nuestros primeros entrenamientos presenciales y exámenes selectivos de formato nacional. Una asistencia de 32 alumnos aproximadamente. De aquí seleccionaremos a mínimo los 20 mejores que tendrán su pase al segundo selectivo (de 3).
Como mencioné anteriormente, ya seguiremos el formato del concurso nacional, es decir, serán 2 exámenes, 3 problemas cada uno, con duración de 4.5 horas cada uno. Cada problema tendrá un valor de 7 puntos, siendo 42 puntos la calificación máxima.
Edu's Favorite Reflection
El punto de reflexión en dos circunferencias iguales.
El día de ayer me encontraba viendo el p5 de la OMM 2010 con Eduardo Ortiz Salles. El chiste era encontrar una solución diferente a la que está escrita en matetam y a la de AOPS. Después de mucha cacería de ángulos usando la configuración del Ortocentro-Punto Medio, le dije a Eduardo "el problema sale si esto vale verde"... y Eduardo dice, "Esto si vale verde porque estas dos son paralelas". (El contexto lo verán en la solución del problema).
Para llegar a esas paralelas, tenía que cumplirse el siguiente enunciado:
Comentarios del Estatal 2025
Ya hablé del femenil, ahora toca hablar del concurso Estatal. El evento presencial más grande del año en Tamaulipas.
Problema 1: Sabiendo separadores y la fórmula de $\frac{n!}{p_1!p_2!\dots p_k!}$ el problema se mata en 1 minuto. De no ser así, haciéndote la talacha completa pudo haber sido otra forma... (cero recomendado)
Problema 2: Aquí había que darse cuenta que sumar el doble es equivalente a multiplicar por 3. El resto era poner la respuesta.
Resultados IV OMMFEM
Tamaulipas no deja de traer excelentes resultados en sus concursos. Sé que muchos dirán que tuvimos un bajón esta XXXVIII OMM, pero la neta era de esperarse. I) Casi no entrenamos, II) todos eran repetidores (excepto Edu), III) el examen estuvo difícil.
Aún así, esta femenil fue el escenario perfecto para demostrar que nuestro estado sigue como el Dani nos lo dejó, trayendo 1 medalla de oro y 1 medalla de bronce. Los resultados por concursante fueron los siguientes:
Nivel I:
- Alma Carolina Reyna Moreno, ORO
- Mía Navil Ávalos Covarrubias
- Vanessa Yushigey Osorio Muñoz
Nivel II:
P8. Permutando 2n números y múltiplos.
Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(n, m)$ que cumplan lo siguiente: existe un entero impar $r$ con $0<r \leq m-1$, y una permutación $\{a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n\}$ de $\{2, 3, \dots , 2n, 2n+1\}$ tales que los $n$ números
$$a_1b_1-r, a_2b_2-r, \dots , a_nb_n-r$$
son todos múltiplos de $m$.
