Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Cambios de estado de focos en un tablero (P2)
En cada casilla de un tablero $ n\times n $hay un foco. Inicialmente todos los focos están apagados. En un paso, se permite cambiar el estado de todos los focos en una fila o de todos los focos en una columna (los focos prendidos se apagan y los focos apagados se prenden). Muestra que si después de cierta cantidad de pasos hay uno o más focos prendidos entonces en ese momento hay al menos n focos prendidos.
Ternas que cumplen una ecuación (P1)
Encuentra todas las ternas de números naturales $ (a,b,c) $ que cumplan la ecuación $ abc=a+b+c+1 $.
Caracterización de alturas de un acutángulo
En el triángulo acutángulo $ABC$, los puntos $D,E,F$, ubicados respectivamente en los lados $BC,CA,AB$, son tales que $$CD/CE=CA/CB$$ $$AE/AF=AB/AC$$ $$BF/BD=BC/BA$$ Demostrar que $AD,BE,CF$ son alturas.
Huevos en la canasta
Cuántos huevos hay en la canasta si
División feminista
Un cubo perfecto
Un cierto número (entero positivo) multiplicado por 360 resulta en un cubo perfecto. Encontrarlo.
Rectángulo, lados, perímetro
Los lados de un rectángulo tienen longitudes enteras, una de ellas es 8 unidades menos que otra, y la suma de tres de ellas es 55. Encontrar el perímetro.
Suma algebraica
La suma de 4020 números enteros consecutivos es 2010. Encontrarlos.
Abuelo, nietos y domingo
El abuelo repartió 500 pesos entre sus 18 nietos de manera que cada niña recibió 2 pesos menos que cada niño. ¿Cuánto recibió cada quien en el reparto?
La amistad es una relación simétrica
En un grupo de personas, cada dos de ellas tiene exactamente un amigo en común en el grupo. Prueba que hay una persona que es amiga de todas las demás personas en el grupo. (Nota: la amistad es mutua, es decir, si X es amigo de Y, entonces Y es amigo de X.)
Incentro y bisectrices
En el triángulo $ABC$, el ángulo $BAC$ mide 60 grados. La bisectriz del ángulo $ABC$ corta al lado $AC$ en $X$ y la bisectriz del ángulo $BCA$ corta al lado $AB$ en $Y$. Demuestra que si $I$ es el incentro del triángulo $ABC$, entonces $IX=IY$
Fracción con mínimo denominador
De todas las fracciones $\frac{x}{y}$ que cumplen $$\frac{41}{2010}<\frac{x}{y}<\frac{1}{49}$$ encuentra la que tenga menor denominador.
Seccionado recursivo
Sofía tiene 5 pedazos de papel en una mesa. Toma algunos de los pedazos, corta cada uno en 5 pedacitos y los vuelve a poner en la mesa. Ella repite este procedimiento varias veces hasta que se cansa. ¿Podría Sofía llegar a tener 2010 pedazos al final en la mesa?
19 números en un tablero circular
En un tablero circular hay 19 casillas numeradas en orden del 1 al 19 (a la derecha del 1 está el 2, a la derecha de éste está el 3 y así sucesivamente, hasta el 1 que está a la derecha del 19). En cada casilla hay una ficha. Cada minuto cada ficha se mueve a su derecha el número de la casilla en que se encuentra en ese momento más una; por ejemplo, la ficha que está en el lugar 7 se va el primer minuto 7 + 1 lugares a su derecha hasta la casilla 15; el segundo minuto esa misma ficha se mueve a su derecha 15 + 1 lugares, hasta la casilla 12, etc. Determinar si en algún momento todas las fichas llegan al lugar donde empezaron y, si es así, decir cuántos minutos deben transcurrir.
¿Cómo se prueba paralelismo?
Combinatoria en el campamento
En un campamento de verano que va a durar n semanas se quiere dividir el tiempo en $3$ períodos de manera que cada período empiece en un lunes y termine un domingo. El primer período se dedicará a labores artísticas, el segundo será para deportes y en el tercero se hará un taller tecnológico. Durante cada período se escogerá un lunes para que un experto en el tema del período dé una plática. Sea $C(n)$ el número de formas en que puede hacerse el calendario de actividades.
¿Cómo se demuestra perpendicularidad?
En los lados $CA$ y $AB$ del triángulo equilátero $ABC$, se eligen respectivamente los puntos $D$ y $E$, de tal manera que $2BE=EA$ y $2AD=DC$. Si P es el punto de intersección de $CE$ y $BD$, demostrar que $AP$ es perpendicular a $CE$.
Triángulo conocido
Dos lados de un triángulo forman un ángulo de 60 grados, y uno mide el doble que el otro. ¿Cuánto miden los otros dos ángulos? Justifica tu respuesta.
Función de un primo con 6 divisores
Encontrar todos los números primos $p$ para los cuales el número $p^2+11$ tiene exactamente 6 divisores positivos (el 1 y el número incluidos).
Soluciones enteras bajo condición de divisibilidad
Encontrar, con prueba, todas las parejas $(a,b)$ de enteros positivos tales que $ab^2+b+7$ divide a $a^2b+a+b$