Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
CONGRESO INTERNACIONAL DE CIENTIFICOS!!!
En un congreso internacional se reunene n cientificos de 6 paises.Durante el congreso los cientificos se dividen en 4 secciones de tal manera que dentro de cualquier grupo de 6 participantes de la misma seccion siempre hay dos cientificos de la misma edad. Encuentra el minimo numero n para el cual, bajo las condiciones mencionadas arriba, se pueda asegurar que existen 3 cientificos de una misma seccion que tienen la misma edad y pertenecen el mismo pais.
ayuda con este problema
Felipe depositó $ 1.800.000 en un banco a una tasa de interés del 1,3% mensual. Al cabo de tres años, ¿cuál es la cantidad de dinero que tiene depositada Felipe?
XI ONMAS!
Sea ABCDEF un hexagono con todos sus lados de longitud 1 y con los angulos ABC y EFA de 90°. ¿ cuanto debe medir el angulo BCD de manera que el area del hexagono sea la mayor posible ?
Numeros en el cubo
En cada una de las caras de un cubo, se escribe un numero entero positivo, y en cada vértice se escribe el producto de los números de las 3 caras adyacentes a ese vértice. Si la suma de los números en los vértices es 105. ¿Cuánto vale la suma de los números en todas las caras?
Mesas circulares!
Hay 3 equipos, cada uno de ellos con 3 personas. Se quieren sentar alrededor de una mesa redonda con sillas numeradas del 1 al 9. ¿De cuantas formas se pueden sentar las 9 personas en las sillas, de tal manera que cualesquiera dos personas consecutivas del mismo equipo esten separados entre si por la misma cantidad de sillas?
Numeros enteros positivos
Demuestre que sin importar que numeros enteros naturales sean $m$ y $n$, el numero $mn ( m + n ) ( m - n )$ es divisible por 3.
11 ONMAS Guerrero
ABCD es un cuadrado, el punto E esta en el lado BC. BD y AE se intersectan en el punto F. Con centro en el punto F y radio FA se traza una circunferencia que intersecta al lado CD en el punto G. Calcula el valor del angulo GFE y demuestra que el triangulo GFC es isisceles.
Problema de la X ONMAS
Utilizando los números 1,2,3,4,5,6,7,8,9 se quieren armar conjuntos que tengan dos o mas de esos números, sin repetición, de modo que si se multiplican todos los números del conjunto, el resultado que se obtiene es múltiplo de 4 pero no es múltiplo de 8.
¿Cuántos de estos conjuntos se pueden armar ?
Homotecia: de baricentros a puntos de Varignon
Las diagonales de un cuadrilátero convexo dividen a éste en cuatro triángulos. Demostrar que sus baricentros forman un paralelogramo.
Problema 3 (IMO 2011)
Sea $f$ una función del conjunto de los números reales en sí mismo que satisface $$f(x + y)\leq yf(x) + f(f(x))$$ para todo par de números reales $x, y$. Demostrar que $f(x) = 0$ para todo $x\leq0$.
Problema 2 (IMO 2011)
Sea $S$ un conjunto finito de dos o más puntos del plano. En $S$ no hay tres puntos colineales. Un remolino es un proceso que empieza con una recta $l$ que pasa por un único punto $P$ de $S$. Se rota $l$ en el sentido de las manecillas del reloj con centro en $P$ hasta que la recta encuentre por primera vez otro punto de $S$ al cual llamaremos $Q$. Con $Q$ como nuevo centro se sigue rotando la recta en el sentido de las manecillas del reloj hasta que la recta encuentre otro punto de $S$. Este proceso continúa indefinidamente.
Problema 1(IMO 2011)
Para cualquier conjunto de cuatro enteros positivos distintos se denota la suma con
Problema 6 (IMO 2011)
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncírculo $\Gamma$. Sea $l$ una tangente a $\Gamma$, y sean $l_a,l_b,l_c$ las rectas obtenidas de $l$ mediante reflexión en $BC,CA,AB$, respectivamente. Demostrar que el circuncírculo del triángulo determinado por las rectas $l_a,l_b,l_c$ es tangente al círculo $\Gamma$.
Problema 5 (IMO 2011)
Sea $f$ una función de los enteros a los enteros positivos. Suponga que, para cualesquiera dos enteros $m,n$, la diferencia $f(m)-f(n)$ es divisible entre $f(m-n)$. Demostrar que, para todos los enteros $m$ y $n$ con $f(m)\leq f(n)$, el número $f(n)$ es divisible entre $f(m)$.
Problema 4 (IMO 2011)
Sea $n>0$ un entero. Se tiene disponible una balanza y $n$ pesas de pesos $2^0,2^1,2^2,\ldots,2^{n-1}$. Debemos colocar cada una de las pesas en la balanza, una después de otra, de tal manera que el lado derecho nunca sea más pesado que el izquierdo. En cada paso elegimos una de las pesas que aún no ha sido colocada en la balanza, y la colocamos en alguno de los dos lados, hasta que todas las pesas han sido colocadas. Determinar el número de formas en que eso puede hacerse.
Caracterización del ortocentro
Demostrar que un punto $P$ en el interior de un triángulo acutángulo $XYZ$ es el ortocentro de éste si y sólo si
- $XP$ es perpendicular a $YZ$, y
- el reflejo de $P$ en el lado $YZ$ pertenece al circuncírculo de $XYZ$.
Suma de razones de segmentos
Sea $P$ un punto interior del triángulo $ABC$. Los rayos $AP,BP,CP$ cortan los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $D,E,F$, respectivamente. Demostrar que
Método de áreas (revisitado)
Sean dados dos segmentos $AB$ y $PQ$, y suponga que los segmentos o sus prolongaciones se cortan en el punto $M$. Demostrar que la razón de las áreas de los triángulos $ABP$ y $ABQ$ es igual a la razón de las distancias de $P$ a $M$ y de $Q$ a $M$.
Ejercicio clásico (con descubrimiento semiguiado)
Sea $D$ un punto en la base $BC$ de un triángulo, y consideremos los triángulos $ABD$ y $ACD$.
- Demostrar que la razón de sus áreas es igual a la razón de sus bases $BD$ y $CD$.
- Demostrar que si $D$ es el punto medio de $BC$ entonces sus áreas son iguales.
- Demostrar que si $D$ es el punto en que la bisectriz del ángulo $A$ corta a la base $BC$, entonces $AB/AC=BD/CD$ (teorema de la bisectriz).
Reflexión de pies de alturas (P6)
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D$, $E$ y $F$ los pies de las alturas desde $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Sean $Y$ y $Z$ los pies de las perpendiculares desde $B$ y $C$ sobre $FD$ y $DE$, respectivamente. Sea $F_1$ la reflexión de $F$ con respecto a $E$ y $E_1$ reflexión de $E$ respecto a $F$. Si $3EF = FD+DE$ demuestra que $\angle BZF_1 = \angle CYE_1$.
Nota. La reflexión de un punto $P$ respecto a un punto $Q$ es el punto $P_1$ ubicado sobre la recta $PQ$ tal que $Q$ queda entre $P$ y $P_1$, y $PQ = QP_1$