Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Dominio eficiente de un tablero
En un tablero de $m\times m$ casillas se colocan fichas. Cada ficha colocada en el tablero "domina" todas las casillas de la fila (--), la columna (|) y la diagonal (\), a la que pertenece. Determine el menor número de fichas que deben colocarse para que queden "dominadas" todas las casillas del tablero. Nota: la ficha no "domina" la diagonal (/).
Perpendicular común a dos rectas en el espacio
Sean $r$ y $s$ dos rectas ortogonales y que no están en el mismo plano. Sea $AB$ su perpendicular común, donde $A$ pertenece a $r$ y $B$ a $s$. Se considera la esfera de diámetro $AB$. Los puntos $M$, de la recta $r$ y $N$, de la recta $s$, son variables, con la condición de que $MN$ sea tangente a la esfera en un punto $T$. Determine el lugar geométrico de $T$. Nota: el plano que contiene a $B$ y $r$ es perpendicular a $s$.
Condiciones extravagantes para n+1 números
Sea $n$ un número entero mayor que 1. Determine los números reales $x_1, x_2,\ldots, x_n\leq 1$ y $x_{n+1}>0$, que verifiquen las dos condiciones siguientes:
$$\sqrt{x_1}+\sqrt[3]{x_2}+\ldots+\sqrt[n-1]{x_n}=n\sqrt[2]{x_{n+1}}$$
$$\frac{x_1+x_2+ \ldots +x_n}{n}=x_{n+1}$$
Para entender la pregunta primero tienes que responderla
Determine los posibles valores de la suma de los digitos de todos los cuadrados perfectos.
Si le entiendes al enunciado obtienes un punto
Demostrar que todo número natural $n\leq 2^{1000000}$ puede ser obtenido a partir de 1 haciendo menos de 1100000 sumas; más precisamente: que hay una sucesión finita de números naturales $x_0, x_1,\ldots,x_k$, con $k < 1100000$, $x_0 = 1, x_k = n$ tal que para cada $i = 1, 2,\ldots, k$, existen $r, s$ con $0\leq r < i, 0 \leq s < i$, y $x_i = x_r + x_s$.
Eliges, sumas, y te vas...
Sean $n, r$ dos enteros positivos. Se desea construir $r$ subconjuntos $A_1, A_2,\ldots, A_r$ de $\{0, 1,\ldots, n-1\}$ cada uno de ellos con exactamente $k$ elementos y tales que, para cada entero $x$, $0\leq x \leq n-1$, existen $x_1$ en $A_1$, $x_2$ en $A_2$ ,... , $x_r$ en $A_r$ (un elemento en cada conjunto) con $x = x_1 + x_2\dots+ x_r$. Hallar el menor valor posible de $k$ en función de $n$ y $r$.
Transformación de acutángulo a equilátero (en el circuncírculo de aquél)
Se dan los puntos $A, B, C$ sobre una circunferencia $K$ de manera que el triángulo $ABC$ sea acutángulo. Sea $P$ un punto interior a $K$. Se trazan las rectas $AP, BP, CP$, que cortan de nuevo a la circunferencia en $X, Y, Z$. Determinar el punto $P$ que hace equilátero al triángulo $XYZ$.
Tablero lampareado
En cada casilla de un tablero $n\times n$ hay una lámpara. Al ser tocada una lámpara, cambian de estado ella misma y todas las lámparas situadas en la fila y la columna que ella determina (las que están encendidas se apagan y las apagadas se encienden). Inicialmente todas están apagadas. Demostrar que siempre es posible, con una sucesión adecuada de toques, lograr que todo el tablero quede encendido y encontrar, en función de $n$, el número mínimo de toques para que se enciendan todas las lámparas.
Cuadrilátero inscriptible y circunscriptible
Dado un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, sus vértices se denotan consecutivamente por $A, B, C, D$. Se supone que existe una semicircunferencia con centro en $AB$, tangente a los otros tres lados del cuadrilátero.
- i) Demostrar que $AB = AD + BC$.
- ii) Calcular, en función de $x = AB, y = CD$, el área máxima que puede alcanzar un cuadrilátero que satisface las condiciones del enunciado.
Números "sensatos"
Se dice que un número natural $n$ es "sensato" si existe un entero $r$, con $1 < r < n-1$, tal que la representación de $n$ en base $r$ tiene todas sus cifras iguales. Por ejemplo, 62 y 15 son sensatos, ya que 62 es 222 en base 5 y 15 es 33 en base 4. Demuestre que 1993 no es sensato pero 1994 si lo es.
Enteros "cuates"
Dos números enteros no negativos $a, b$ son "cuates" si $a + b$ tiene solamente ceros y unos en su expresión decimal. Sean $A$ y $B$ dos conjuntos infinitos de enteros no negativos tales que $B$ es el conjunto de todos los números que son "cuates" de todos los elementos de $A$ y $A$ es el conjunto de todos los números que son "cuates" de todos los elementos de $B$. Pruebe que en uno de los conjuntos $A$ o $B$ hay infinitos pares de números $x, y$ tales que $x - y = 1$.
Cardinalidad de un conjunto finito de puntos
Sean $P$ y $Q$ dos puntos distintos en el plano. Denotemos por $m (PQ)$ la mediatriz del segmento $PQ$. Sea $S$ un subconjunto finito del plano, con más de un elemento, que satisface las siguientes propiedades:
- a) Si $P$ y $Q$ están en $S$, entonces $m (PQ)$ intersecta a $S$.
- b) Si $P_1Q_1, P_2Q_2, P_3Q_3$ son tres segmentos diferentes cuyos extremos son puntos de $S$, entonces no existe ningún punto de $S$ en la intersección de las tres líneas $m(P_1Q_1), m(P_2Q_2),m(P_3Q_3$).
Determine el número de puntos que puede tener $S$.
Ejercicio trigonométrico
Sea $ABC$ un triángulo equilátero y $\Gamma$ su círculo inscrito. Si $D$ y $E$ son puntos de los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $DE$ es tangente a $\Gamma$, demuestre que $$\frac{AD}{DB}+\frac{AE}{EC}=1$$
Una forma complicada de definir una función elemental
Sea $N^* = \{1, 2, 3, \ldots \}$. Halle todas las funciones $f: N^* \mapsto N^*$ tales que:
- i) si $x < y$, entonces $f(x) < f(y)$
- ii) $f(y f(x)) = x^2f(xy)$, para todos los $x, y\in N^*$.
¿Cómo se encierra un n-polígono en un paralelogramo?
Muestre que, para cualquier polígono convexo de área uno, existe un paralelogramo de área 2 que lo contiene.
Primos que son diferencia de capicúas consecutivos
Un número natural es capicúa si al escribirlo en notación decimal se puede leer de igual forma de izquierda a derecha y de derecha a izquierda. Ejemplos: 8, 23432, 6446. Sean $x_1 < x_2 < \ldots < x_i < x_{i+1} < ... $ todos los números capicúas. Para cada $i$ sea $y_i=x_{i+1} - x_i$. ¿Cuántos números primos distintos tiene el conjunto $\{y_1, y_2, y_3 \ldots \}$?
¿Cómo era el generalizado de senos?
A partir del triángulo $T$ de vértices $A, B, C$, se construye el hexágono $H$ de vértices $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ como se muestra en la figura. Demostrar que
Construcción de un trapecio inscrito
Se dan la circunferencia $\Gamma$ y los números positivos $h, m$ de modo que existe un trapecio $ABCD$, inscrito en $\Gamma$, de altura $h$ y tal que la suma de sus bases $AB$ y $CD$ es $m$. Construir el trapecio $ABCD$.
Dos sucesiones recursivas
Sean $(a_n)$ y $(b_n)$ dos sucesiones de números enteros que verifican las siguientes condiciones:
- i) $a_0 = 0, b_0 = 8$
- ii) $a_{n+2} = 2a_{n+1}-a_n+2, b_{n+2}=2b_{n+1}-b_n$
- iii) $a_n^2+b_n^2$ es un cuadrado perfecto para todo $n$.
Determinar al menos dos valores del par $(a_{1992}, b_{1992})$.
¿Sabes geometría analítica? (alternativa: Stewart)
En un triángulo equilátero $ABC$, cuyo lado tiene longitud 2, se inscribe la circunferencia $\Gamma$.
- a) Demostrar que para todo punto $P$ de $\Gamma$, la suma de los cuadrados de sus distancias a los vértices $A, B$ y $C$ es 5.
- b) Demostrar que para todo punto $P$ de $\Gamma$, es posible construir un triángulo cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos $AP, BP$ y $CP$, y cuya área es $\sqrt{3}/4$