Problemas
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Suma de las raíces de un polinomio
Sean dados la colección de $n$ números reales positivos $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < a_n$, y la función$$f(x)=\frac{a_1}{x+a_1}+\frac{a_2}{x+a_2}+\ldots +\frac{a_n}{x+a_n}$$ Determinar la suma de las longitudes de los intervalos, disjuntos dos a dos, formados por todos los valores de $x$ tales que $f(x)\gt 1$.
Suma de una sucesión
Para cada entero positivo $n$, sea $a_n$ el último dígito del número $1+2+3+ ...+n$. Calcular $a_1 + a_2 + a_3 +\ldots+a_{1992}$.
Construir un triángulo (dados ortocentro y dos puntos medios)
Dados 3 puntos no alineados $M, N, P$, sabemos que $M$ y $N$ son puntos medios de dos lados de un triángulo y que $P$ es el punto de intersección de las alturas de dicho triángulo. Construir el triángulo.
¿Puedes maliciar que es suma de dos cuadrados?
Sea $P(X,Y) = 2X^2 - 6XY + 5Y^2$. Diremos que un número entero $A$ es un valor de $P$ si existen números enteros $B$ y $C$ tales que $A = P(B,C)$.
- i) Determinar cuántos elementos de $\{1, 2, 3, ... ,100\}$ son valores de $P$.
- ii) Probar que el producto de valores de $P$ es un valor de $P$.
Combinatoria con números de 3 cifras distintas elegidas de entre 5
Encontrar un número $N$ de cinco cifras diferentes y no nulas, que sea igual a la suma de todos los números de tres cifras distintas que se pueden formar con las cinco cifras de $N$.
Función creciente en [0,1]
Sea $F$ una función creciente definida para todo número real $x$, $0\leq x \leq 1, tal que:
- (a) $F(0) = 0$
- (b) $F(x/3) = F(x)/2$
- (c) $F(1-x) = 1 - F(x)$
Encontrar $F(18/1991)$
Dos perpendiculares seccionan un cuadrado
Dos rectas perpendiculares dividen un cuadrado en cuatro partes, tres de las cuales tienen cada una área igual a 1. Demostrar que el área del cuadrado es cuatro.
Sumas de 14 más menos unos
A cada vértice de un cubo se asigna el valor de +1 o -1, y a cada cara el producto de los valores asignados a cada vértice. ¿Qué valores puede tomar la suma de los 14 números así obtenidos?
Propiedad de un polinomio cúbico
Sea $f(x)$ un polinomio de grado 3 con coeficientes racionales. Probar que si el gráfico de $f$ es tangente al eje $x$, entonces $f(x)$ tiene sus 3 raíces racionales.
Recorridos en un tablero
Sean $A$ y $B$ vértices opuestos de un tablero cuadriculado de $n$ por $n$ casillas ($n\geq 1$), a cada una de las cuales se añade su diagonal de dirección $AB$, formándose así $2n^2$ triángulos iguales. Se mueve una ficha recorriendo un camino que va desde $A$ hasta $B$ formado por segmentos del tablero, y se coloca, cada vez que se recorre, una semilla en cada uno de los triángulos que admite ese segmento como lado.
¿Cómo se demuestra circunferencia ortogonal?
Sean $C_1$ una circunferencia, $AB$ uno de sus diámetros, $t$ su tangente en $B$, y $M$ un punto de $C_1$ distinto de $A$. Se construye una circunferencia $C_2$ tangente a $C_1$ en $M$ y a la recta $t$.
- a) Determinar el punto $P$ de tangencia de $t$ y $C_2$ y hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias al variar $M$.
- b) Demostrar que existe una circunferencia ortogonal a todas las circunferencias $C_2$.
NOTA: Dos circunferencias son ortogonales si se cortan y las tangentes respectivas en los puntos de intersección son perpendiculares.
Divisibilidad de un polinomio
Sea $f(x) = (x + b)^2 - c$, un polinomio con $b$ y $c$ números enteros.
- a) Si $p$ es un número primo tal que $p$ divide a $c$ y $p^2$ no divide a $c$, demostrar que, cualquiera que sea el número entero $n$, $p^2$ no divide a $f(n)$.
- b) Sea $q$ un número primo, distinto de 2, que divide a $c$. Si $q$ divide a $f(n)$ para algún número entero $n$, demostrar que para cada entero positivo $r$ existe un número entero $n'$ tal que $q^r$ divide a $f(n')$.
Criterio de potencia para cíclico
En un triángulo $ABC$, sean $I$ el centro de la circunferencia inscrita y $D, E$ y $F$ sus puntos de tangencia con los lados $BC, AC$ y $AB$, respectivamente. Sea $P$ el otro punto de intersección de la recta $AD$ con la circunferencia inscrita. Si $M$ es el punto medio de $EF$, demostrar que los cuatro puntos $P, I, M$ y $D$ pertenecen a una misma circunferencia.
Una función recursiva
Sea $f$ una función, definida en el conjunto de los enteros mayores o iguales que cero, que verifica las dos condiciones siguientes:
- (I) Si $n = 2^j -1$, para $n = 0, 1, 2,\ldots$, entonces $f(n)=0$
- (II) Si $n\neq 2^j-1, para n = 0, 1, 2,\ldots, entonces $f(n+1) = f(n) -1$.
a) Demostrar que para todo entero $n$, mayor o igual que cero, existe un entero $k$, mayor que cero, tal que $f(n)+n= 2^k - 1$
b) Calcular $f (2^{1990})$
Los 100 nueves!!!
Encuentra las ultimas 4 cifras del numero que se forma al sumar 9+99+999+9999+99999+999999+..........+ 999......999 (el ultimo numero esta formado por 100 nueves).
Soluciones infinitas
Mostrar que hay una infinidad de pares de números naturales que satisfacen la ecuación
2x^2 - 3x = 3y^2: $$2x^2 -3x + 1 =3y^2 + y$$
Rango de una función
Sea la función $f$ definida sobre el conjunto $\{1, 2, 3,\ldots\}$ tal que
$$f(1) = 1$$
$$f(2n + 1) = f(2n) +1$$
$$f(2n) = 3f(n)$$
Determinar el conjunto de valores que toma $f$
Una propiedad del incentro
La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$, es tangente a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$, respectivamente. Las bisectrices de $A$ y $B$ intersecan a $MN$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Sea $O$ el incentro del triángulo $ABC$. Probar que $MP\cdot OA = BC\cdot OQ$
Desigualdad sobre los lados de un triángulo
Sean $a, b, c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Probar que:
$$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b´c}+\frac{c-a}{ca}|<\frac{1}{16}$$
Desigualdad trigonométrica
Sean $x, y, z$ tres números reales tales que $0 < x < y < z < \pi/2$. Demostrar la desigualdad:
$$\pi/2 + 2\sin x\cos y + 2\sin y \cos z\gt \sin 2x + \sin 2y + \sin 2z$$