Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Isogonales: iso (igual) gono (ángulo)
Demostrar que, en un triángulo $ABC$, la altura de cualquier vértice y la recta que pasa por él y el circuncentro forman el mismo ángulo con la bisectriz (de ese mismo vértice).
Reflejos en el espejo de la bisectiz
Dentro del triángulo $ABC$, considere un punto $P$, y $C'$ y $B'$, los pies de las perpendiculares bajadas desde $P$ a los lados $AB$ y AC, respectivamente. Demostrar que si $Q$ es un punto tal que $C'PB'Q$ es paralelogramo, entonces las rectas $AP$ y $AQ$ son simétricas respecto a la bisectriz del ángulo $A$.
Tres vecinas
A: Al departamento de al lado se acaban de cambiar tres mujeres -según me lo dijo C.
Regla del 41 para ninis
En el país XYZ se aprobó una ley de "jubilación" de ninis (jóvenes que ni estudian ni trabajan). Básicamente, la regla para la "jubilación" es que el joven nini recibirá una pensión estatal de tres salarios mínimos de por vida si sigue siendo joven (menos de 30) y su edad más los años que se ha mantenido nini (sin estudiar ni trabajar) es al menos 41 años. Calcular la edad en que un adolescente de 19 años logrará la pensión si tiene 4 años de nini.
Volumen de una alberca
Una alberca, cuyo espejo del agua es un rectángulo $a\times{b}$, tiene el fondo inclinado también rectangular de manera que la profundidad en un extremo ($h$) es un metro menor que la del otro. Obtener una fórmula para calcular la capacidad de la alberca en metros cúbicos y usarla para $h=1,a=3,b=6$. Nota: puedes suponer que $a,b,h$ están expresadas en metros y las paredes son verticales.
Triángulo rectángulo
El área de un triángulo rectángulo es 150 unidades, y la altura perpendicular a la hipotenusa mide 12. Calcular la longitud de sus lados.
Demostrar que un cuadrilátero es paralelogramo (Problema 5, OIM)
En un triángulo acutángulo ABC sean AE y BF dos alturas, y sea H el ortocentro. La recta simétrica de AE respecto de la bisectriz (interior) del ángulo en A y la recta simétrica de BF respecto de la bisectriz (interior) del ángulo en B se intersecan en un punto O. Las rectas AE y AO cortan por segunda vez a la circunferencia circunscrita al triángulo ABC en los puntos M y N, respectivamente.
Sean: P, la intersección de BC con HN; R, la intersección de BC con OM; y S, la intersección de HR con OP.
Demostrar que AHSO es un paralelogramo.
Tres circunferencias con un punto común. (Problema 2, OIM)
Con centro en el incentro I, de un triángulo ABC se traza una circunferencia que corta en dos puntos a cada uno de los tres lados del triángulo: al segmento BC en D y P (siendo D el más cercano a B); al segmento CA en E y Q (siendo E el más cercano a C), y al segmento AB en F y R (siendo F el más cercano a A).
Sea S el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero EQFR. Sea T el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero FRDP. Sea U el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero DPEQ.
Caracterización de enteros con parte entera (Problema 1, OIM)
Sea $r \geq 1$ un número real que cumple la siguiente propiedad:
Para cada pareja de números enteros positivos $m$ y $n$, con $n$ múltiplo de $m$, se tiene que $\lfloor nr \rfloor$ es múltiplo de $\lfloor mr \rfloor$.
Probar que $r$ es un numero entero.
Nota: Si $x$ es un numero real, denotamos por $\lfloor x \rfloor$ el mayor entero menor o igual que $x$.
Coloraciones de puntos en una cuadrícula (Problema 3, OIM)
Sean $n \geq 2$ un número entero y $D_n$ el conjunto de puntos $(x,y)$ del plano cuyas coordenadas son números enteros con $-n \leq x \leq n $ y $-n \leq y \leq n$
Sucesión de cuadrados
Demostrar que todos los números de la siguiente sucesión son cuadrados perfectos: 49, 4489,444889,...
Un problema de cálculo
Dada la función $f(x)=1/x$, considere un punto $P$ en la gráfica de la función (en el primer cuadrante). La tangente en $P$ forma un triángulo rectángulo con los ejes al intersecarlos. Calcular las coordenadas de $P$, para las cuales la hipotenusa de ese triángulo tiene longitud mínima/máxima.
Ensayos repetidos con un tetraedro
Los vértices de un tetraedro están etiquetados con los números del 1 al 4. Considere el siguiente experimento aleatorio: se lanza el tetraedro y se registra el número del vértice superior. Calcular la probabilidad de que al lanzar el tetraedro 5 veces, la suma de los números de los vértices superiores obtenidos en los lanzamientos sea 12.
Contabilidad escolar creativa
Los administradores han encontrado en las compras con sobreprecio un área de oportunidad para financiar su nivel de vida --gracias a su creatividad contable. Para equipar su escuela con tecnología educativa de punta, el director de la prepa No te la vas a acabar realizó dos compras de equipo multimedia el mes pasado, a sendos proveedores conocidos por su flexibilidad de facturación.
Después de ciertas negociaciones, al proveedor A le pagó solamente 2/5 del monto nominal sobrefacturado, y al proveedor B solamente 3/7 del monto nominal sobrefacturado. (Se entiende que los excedentes van directamente al bolsillo del director.)
El Morocho y el Parna reciclan cobre --a su manera
(En el mercado de chatarra, el cobre se cotiza aproximadamente a 15 pesos el kilo. Así que el cable --de la CFE, de Telmex, y de la TV privada-- es una tentación para los delincuentes, sean estos profesionales u ocasionales.) El Morocho y el Parna, dos adolescentes mariguanos y caguameros de la ciudad, han descubierto esa área de oportunidad para mantener su vicio. Una noche, cada uno por su cuenta, robaron cable de dos calibres distintos (según el calibre es el peso del metro). Entre ambos robaron 55 m. y cada uno recibió la misma cantidad de dinero al vender su producto al Jarocho al día siguiente. Si el Morocho hubiese robado los metros que robó el Parna habría recibido 360 pesos.
Locus con paralelogramos de lado fijo
Sea dado un segmento fijo $AB$ y considérense todos los paralelogramos $ABCD$ formados con el lado $AB$. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $P$ la proyección de $A$ sobre la recta $DM$. Determinar el lugar geométrico descrito por $P$ al mover el lado $CD$.
Parábola como locus
Encontrar el lugar geométrico de un punto $P$ que se mueve de tal manera que permanece equidistante de un punto fijo $F$ y una recta fija $d$.
Lugar geométrico del punto medio
En un triángulo $ABC$, los puntos $M$ en $CA$ y $N$ en $BC$ se mueven de tal manera que $AM=BN$. Describir el lugar geométrico del punto medio $P$ de $MN$.
Un problema de velocidades realmente difícil
Un tren de pasajeros parte de la estación $A$ hacia la $B$ a las 13 horas. Después de 6 horas de viaje, el tren se detiene durante 2 horas debido a la acumulación de nieve en la vía. Después de esas 2 horas, el tren prosigue su viaje hacia la estación $B$, pero ahora con una velocidad 20 porciento mayor que la que mantuvo antes (la velocidad normal). Aún así, llegó a la estación $B$ con una hora de retraso. Al día siguiente, otro tren sale de la estación $A$ hacia la $B$ a las 13 horas y también tuvo que parar durante 2 horas, pero en un punto alejado de $A$ 150 km más que donde paró el primer tren.
La mosca de von Neumann
Un joven colega de von Neumann le planteó a éste (en un cocktail party del MIT) el siguiente problema: