Problemas
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EGMO Problema 2 - Máxima cantidad de renglones en una tabla
Sea $n$ un entero positivo, encuentra el entero más grande $m$, en términos de $n$ con la siguiente propiedad:
Una tabla con m renglones y n columnas puede ser llenada con números reales de tal manera que dos diferentes renglones, $[a_1, a_2, \dots , a_n]$ and $[b_1, b_2, \ldots, b_n]$ satisfacen que $$\max(|a_1 − b_1|, |a_2 − b_2|,\dots , |a_n − b_n|) = 1.$$
©Traducido de la versión en ingles por Matetam.com
EGMO Problema 1 - Sobre dos circuncentros y demostrar que una línea es perpendicular
Sea ABC un triángulo con circuncentro O. Los puntos D, E y F se encuntran en el interio de los lados BC, CA y AB respectivamente, de tal manera que DE es perpendicular a CO y DF such that DE is perpendicular to CO and DF is perpendicular to BO. (Por punto interior nos referimos, por ejemplo, a que el punto D se encuentra sobre la línea BC y D está entre B y C en esa línea)
Consideremos K el circuncentro del triángulo AFE. Desmuestra que las líneas DK y BC son perpendiculares.
©Traducido de la versión en ingles para Matetam.com
Numeros aluxes
Un entero positivo $n$ es aluxe si el producto de los digitos de $n$ es igual al producto de los digitos de $n+1$. ¿Cuántos enteros aluxes hay menores o iguales a 2011 y mayores o iguales a 1?
Juego de intercambios con piedras coloreadas
Sean $k$ y $n$ enteros positivos con $k\geq 2$. En una línea recta se tienen $kn$ piedras de $k$ colores diferentes. de tal forma que hay $n$ piedras de cada color. Un paso consiste en intercambiar de posición dos piedras adyacentes. Encontrar el menor entero positivo $m$ tal que siempre es posible lograr con a lo sumo $m$ pasos que las $n$ piedras de cada color queden seguidas si:
- a) $n$ es par,
- b) $n$ es impar y $k=3$
Desigualdad con multiplicadores en $\{-1,1\}$
Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales positivos. Demostrar que existen $a_1,a_2,\ldots,a_n\in\{-1,1\}$ tales que $$a_1x_1^2+a_2x_2^2+\ldots+a_nx_n^2\geq(a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n)^2$$
Ortocentro de un acutángulo
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC\neq BC$, y sea $O$ su circuncentro. Sean $P$ y $Q$ puntos tales que $BOAP$ y $COPQ$ son paralelogramos. Demostrar que $Q$ es ortocentro de $ABC$.
Triángulo con incírculo y tres circunferencias más
Sea $ABC$ un triángulo y sean $X,Y,Z$ los puntos de tangencia de su incírculo con los lados $BC,CA,AB$, respectivamente. Suponga que $C_1,C_2,C_3$ son circunferencias con cuerdas $XY,ZX,YZ$, respectivamente, tales que $C_1$ y $C_2$ se cortan sobre la recta $CZ$ y que $C_1$ y $C_3$ se corten sobre la recta $BY$. Suponga que $C_1$ corta a las cuerdas $XY$ y $ZX$ en $J$ y $M$, respectivamente; que $C_2$ corta a las cuerdas $YZ$ y $XY$ en $L$ e $I$, respectivamente; y que $C_3$ corta a las cuerdas $YZ$ y $ZX$ en $K$ y $N$, respectivamente. Demostrar que $I,J,K,L,M,N$ están sobre una misma circunferencia.
Ecuación de inversos OIM 2011
Encontrar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen tres enteros no nulos $x,y,z$ tales que $x+y+z=0$ y $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{n}$$
Por 2, por 3 o más uno
En la pizarra está escrito el número 2. Ana y Bruno juegan alternadamente, comenzando por Ana. Cada uno en su turno sustituye el número escrito por el que se obtiene de aplicar exactamente una de las siguiente operaciones: multiplicarlo por 2 o multiplicarlo por 3 o sumarle 1. El primero que obtenga un resultado mayor o igual a 2011 gana. Decidir quién tiene una estrategia ganadora y describirla.
Mesa redonda con vasijas y personas
Alrededor de una mesa redonda hay 12 personas, y sobre la mesa hay 28 vasijas. Una persona puede ver a otra si y sólo si no hay ninguna vasija alineada con ellos. Demostrar que hay por lo menos dos personas que se pueden ver la una a la otra.
Colinealidad en configuración de cíclico con ortodiagonales
Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares. Sean $O$ el circuncentro de $ABC$, $K$ el punto de intersección de las diagonales, $L\neq O$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas a $OAC$ y $OBD$, y $G$ el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios de los lados de $ABCD$. Demostrar que $O,K, L,G$ están alineados.
Medias enteras
Las medias aritmética, geométrica y armónica de dos enteros positivos distintos son todas números enteros. Hallar el menor valor posible de la media aritmética de los dos enteros.
Concurrencia en configuración de in y circuncírculos
Sea $\Gamma$ el incírculo de un triángulo escaleno $ABC$, que es tangente a los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $D,E,F$ respectivamente. Las rectas $EF$ y $BC$ se cortan en $G$. La circunferencia de diámetro $GD$ corta a $\Gamma$ por segunda vez en $R$. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección (distintos de $R$) de $\Gamma$ con $BR$ y $CR$, respectivamente. Las rectas $BQ$ y $CP$ se cortan en $X$, el circuncírculo de $CDE$ corta a $QR$ en $M$ y el circuncírculo de $BDF$ corta a $PR$ en $N$. Demostrar que $PM, QN$ y $RX$ son concurrentes.
Sucesión en enteros indecisa
Decidir si existen enteros positivos $a$ y $b$ tales que todos los términos de la sucesión $(X_n)$, definida como $X_1 =2010, X_2 = 2011$, $$X_{n+2} = X_n + X_{n+1} + a\sqrt{X_nX_{n+1} + b}$$ son números enteros.
Diez monedas, dos preguntas
Se tienen diez monedas indistinguibles en hilera. Se sabe que dos de ellas son falsas y están en posiciones consecutivas en la hilera. Una pregunta consiste en elegir un subconjunto cualquiera de las monedas y preguntar cuántas de ellas son falsas. Decidir si es posible identificar con certeza las monedas falsas haciendo solamente dos preguntas, sin conocer la respuesta de la primera antes de formular la segunda.
Números racionales!!!
Demuestra que la suma de las raíces cuadradas de 2 y 3 suman un número irracional. Esto es, $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ es irracional.
El juego de biribol
En un partido de biribol se enfrentan dos equipos de cuatro jugadores cada uno. Se organiza un torneo de biribol en el que participan $n$ personas, que forman equipos para cada partido (los equipos no son fijos). Al final del torneo se observó que cada dos personas disputaron exactamente un partido en equipos rivales. Determinar para qué valores de $n$ es posible organizar un torneo con tales características.
Desigualdad con áreas de dos triángulos
Sean $ABC$ un triángulo y $X,Y,Z$ puntos interiores de los lados $BC,CA,AB$ respectivamente. Sean $A',B',C'$ los circuncentros correspondientes a los triángulos $AZY,BXZ,CYX$, respectivamente. Demuestre que:
$$(A'B'C')\geq (ABC)/4$$
y que la igualdad ocurre si y sólo si $AA',BB'$ y $CC'$ son concurrentes.
Nota: Para un triángulo cualquiera $RST$, denotamos su área con $(RST)$.
Ecuación sin soluciones enteras
Pruebe que la ecuación $$x^{2008}+2008!=21^y$$ no tiene soluciones enteras $(x,y)$
Divisibilidad en un polinomio cúbico
Sean $m$ y $n$ números enteros tales que el polinomio $P(x)=x^3+mx+n$ tiene la siguiente propiedad: si $x$ y $y$ son enteros y 107 divide a $P(x)-P(y)$, entonces 107 divide a $x-y$. Demuestre que divide a 107 divide a $m$.