Combinatoria

En cada casilla de un tablero $n\times n$ hay una lámpara. Al ser tocada una lámpara, cambian de estado ella misma y todas las lámparas situadas en la fila y la columna que ella determina (las que están encendidas se apagan y las apagadas se encienden). Inicialmente todas están apagadas. Demostrar que siempre es posible, con una sucesión adecuada de toques, lograr que todo el tablero quede encendido y encontrar, en función de $n$, el número mínimo de toques para que se enciendan todas las lámparas.

Encontrar un número $N$ de cinco cifras diferentes y no nulas, que sea igual a la suma de todos los números de tres cifras distintas que se pueden formar con las cinco cifras de $N$.

A cada vértice de un cubo se asigna el valor de +1 o -1, y a cada cara el producto de los valores asignados a cada vértice. ¿Qué valores puede tomar la suma de los 14 números así obtenidos?

Sean $A$ y $B$ vértices opuestos de un tablero cuadriculado de $n$ por $n$ casillas ($n\geq 1$), a cada una de las cuales se añade su diagonal de dirección $AB$, formándose así $2n^2$ triángulos iguales. Se mueve una ficha recorriendo un camino que va desde $A$ hasta $B$ formado por segmentos del tablero, y se coloca, cada vez que se recorre, una semilla en cada uno de los triángulos que admite ese segmento como lado.

Sea un entero positivo.  Se considera

La siguiente reticula de 4x4 esta formada por cuadritos de lado igual a 1; se quiere dibujar un triangulo de area 1 de tal forma que sus vertices sean puntos de la reticula ¿cuantas formas hay de hacer esto?

En un congreso internacional se reunene n cientificos de 6 paises.Durante el congreso los cientificos se dividen en 4 secciones de tal manera que dentro de cualquier grupo de 6 participantes de la misma seccion siempre hay dos cientificos de la misma edad. Encuentra el minimo numero n para el cual, bajo las condiciones mencionadas arriba, se pueda asegurar que existen 3 cientificos de una misma seccion que tienen la misma edad y pertenecen el mismo pais.

Hay 3 equipos, cada uno de ellos con 3 personas. Se quieren  sentar alrededor de una mesa redonda con sillas numeradas del 1 al 9. ¿De cuantas formas se pueden sentar las 9 personas en las sillas, de tal manera que cualesquiera dos personas consecutivas del mismo equipo esten separados entre si por la misma cantidad de sillas?

Utilizando los números 1,2,3,4,5,6,7,8,9 se quieren armar conjuntos que tengan dos o mas de esos números, sin repetición, de modo que si se multiplican todos los números del conjunto, el resultado que se obtiene es múltiplo de 4 pero no es múltiplo de 8.

¿Cuántos de estos conjuntos se pueden armar ?

Sea $S$ un conjunto finito de dos o más puntos del plano. En $S$ no hay tres puntos colineales. Un remolino es un proceso que empieza con una recta $l$ que pasa por un único punto $P$ de $S$. Se rota $l$ en el sentido de las manecillas del reloj con centro en $P$ hasta que la recta encuentre por primera vez otro punto de $S$ al cual llamaremos $Q$. Con $Q$ como nuevo centro se sigue rotando la recta en el sentido de las manecillas del reloj hasta que la recta encuentre otro punto de $S$. Este proceso continúa indefinidamente.