Problemas - Geometría
¿Pies alineados? Bueno... ¿de dónde vienen?
Sean $ABC$ un triángulo, $\gamma$ su circunferencia circunscrita (circuncírculo), y $P$ un punto sobre $\gamma$. Demostrar que los pies de las perpendiculares bajadas desde $P$ a los lados del triángulo (o su prolongación) son colineales.
P6 OMM 1998. Planos equidistantes a 5 puntos
Un plano en el espacio es equidistante a un conjunto de puntos si la distancia de cada punto al plano es la misma. ¿Cuál es el mayor número de planos equidistantes a 5 puntos de los cuales no hay 4 en un mismo plano?
P5 OMM 1998. Paralela si y sólo si... ¿Tales?
Sean $B$ y $C$ dos puntos de una circunferencia, y $AB$ y $AC$ las tangentes
desde un punto $A$. Sea $Q$ un punto del segmento $AC$ y $P$ la intersección de $BQ$ con la circunferencia. La paralela a $AB$ por $Q$ corta a $BC$ en $J$. Demuestre que $PJ$ es paralelo a $AC$ si y sólo si $BC^2 = AC \cdot QC$.
P2 OMM 1998. Rayos, ángulo, bisectriz, lugar geométrico...
Dos rayos $l,m$ parten de un mismo punto formando un ángulo $A$, y $P$ es un punto en $l$. Para cada circunferencia $C$, tangente a $l$ en $P$, que corte a $m$ en puntos $Q$ y $R$, $T$ es el punto donde la bisectriz del ángulo $QPR$ corta a $C$. Describe la figura geométrica que forman los puntos $T$. Justifica tu respuesta.
P5 OMM 1997. Triángulo formado por cevianas
Sean $P, Q, R$ puntos sobre los lados de un triángulo $ABC$ con $P$ en el segmento $BC$, $Q$ en el segmento $AC$ y $R$ en el segmento $BA$, de tal manera que si $A'$ es la intersección de $BQ$ con $CR$, $B'$ es la intersección de $AP$ con $CR$, y $C'$ es la intersección de $AP$ con $BQ$, entonces $AB' = B'C',BC' = C'A'$, y $CA' = A'B'$. Calcule el cociente del área del triángulo $PQR$ entre el área del triángulo $ABC$.
P4 OMM 1997. Planos determinados por seis puntos
Dados 3 puntos no alineados en el espacio, al único plano que los contiene le llamamos plano determinado por los puntos. ¿Cuál es el mínimo número de planos determinados por 6 puntos en el espacio si no hay 3 alineados y no están los 6 en un mismo plano?
P2 OMM 1997. Alineados con centroide... ¿Menelao?
En un triángulo $ABC$, sean $P$ y $P'$ puntos sobre el segmento $BC$, $Q$ en $CA$ y $R$ sobre $AB$, de forma que $$\frac{AR}{RB}=\frac{BP}{PC}=\frac{CQ}{QA}=\frac{CP'}{P'B}$$
Sean $G$ el centroide del triángulo $ABC$ y $K$ el punto de intersección de las rectas $AP'$ y $RQ$. Demuestre que los puntos $P, G, K$ son colineales.
P6 OMM 1996. Perpendiculares que miden el lado que cortan
En la figura se muestra un triángulo acutángulo $ABC$ en el que la longitud de $AB$ es menor que la de $BC$ y la de $BC$ es menor que la de $AC$ . Los puntos $A', B'$ y $C'$ son tales que $AA'$ es perpendicular a $BC$, y la longitud
de $AA'$ es igual a la de $BC$; $BB'$ es perpendicular a $AC$ y la longitud de $BB'$ es igual a la de $AC$; $CC'$ es perpendicular a $AB$ y la longitud de $CC'$ es igual a la de $AB$. Además el ángulo $AC'B$ es de 90 grados. Demuestra que $A', B'$ y $C'$ son colineales.
P1 OMM 1996. Cuadrilátero con diagonal trisecada
Sea $ABCD$ un cuadrilátero y sean $P$ y $Q$ los puntos de trisección de la diagonal $BD$ (es decir, $P$ y $Q$ son puntos del segmento $BD$ para los cuales las longitudes $BP, PQ$ y $QD$ son todas iguales). Sean $E$ la intersección de la recta que pasa por $A$ y $P$ con el segmento $BC$, y $F$ la intersección de la recta que pasa por $A$ y $Q$ con el segmento $DC$. Demuestra lo siguiente:
1. Si $ABCD$ es un paralelogramo, entonces $E$ y $F$ son los respectivos puntos medios de los segmentos $BC$ y $CD$.
2. Si $E$ y $F$ son los puntos medios de $BC$ y $CD$, respectivamente, entonces $ABCD$ es un paralelogramo.
P5 OMM 1995. Triángulos de igual área en pentágono
Sea $ABCDE$ un pentágono convexo de manera que los triángulos $ABC,BCD, CDE, DEA$ y $EAB$ son todos de igual área. Demuestra que
$$\frac{1}{4} (ABCDE)<(ABC)<\frac{1}{3} (ABCDE)$$.
(Donde el paréntesis denota el área del polígono dentro de él.)