Geometría

 Demuestra que, para un triángulo no equilátero, el circuncentro, el gravicentro y el ortocentro están sobre una misma recta.

 En la figura se muestra un triángulo $ABC$ y su circuncírculo. El segmento que va desde el circuncentro $O$ (concurrencia de mediatrices) al gravicentro $G$ (concurrencia de medianas) se ha prolongado hasta cortar a la altura $AD$ en $H$.

Demostrar:

• (a) Los triángulos $OMG$ y $HAG$ son semejantes
• (b) El segmento $GH$ mide el doble que el $OG$
• (c) En $H$ concurren las tres alturas

En la figura, $H$ es la intersección de las alturas, y la altura $AD$ del triángulo $ABC$ se ha prolongado hasta cortar el circuncírculo en $P$.

Demostrar:

• (a) El triángulo $HBC$ es isósceles
• (b) La recta $BC$ es mediatriz de $HP$
• (c) Los puntos $H$ y $P$ son simétricos respecto al lado $BC$

 Demostrar que, en cualquier triángulo, el punto simétrico del ortocentro respecto a un lado es un punto del circuncírculo.

Sean $ C_1 $ y $ C_2 $ dos circunferencias tangentes exteriormente en un punto $ A $. Se traza una recta tangente a $ C_1 $ en $ B $ y secante a $ C_2 $ en $ C $ y $ D $; luego se prolonga el segmento $ AB $ hasta intersecar a $ C_2 $ en un punto $ E $. Sea $ F $ el punto medio del arco $ CD $ sobre $ C_2 $ que no contiene a $ E $ y sea $ H $ la intersección de $ BF $ con $ C_2 $. Muestra que $ CD,AF $ y $ EH $ son concurrentes.

 En el triángulo acutángulo $ABC$, los puntos $D,E,F$, ubicados respectivamente en los lados $BC,CA,AB$, son tales que $$CD/CE=CA/CB$$ $$AE/AF=AB/AC$$ $$BF/BD=BC/BA$$ Demostrar que $AD,BE,CF$ son alturas.

 En el triángulo $ABC$, el ángulo $BAC$ mide 60 grados. La bisectriz del ángulo $ABC$ corta al lado $AC$ en $X$ y la bisectriz del ángulo $BCA$ corta  al lado $AB$ en $Y$. Demuestra que si $I$ es el incentro del triángulo $ABC$, entonces $IX=IY$

En los lados $CA$ y $AB$ del triángulo equilátero $ABC$, se eligen respectivamente los puntos $D$ y $E$, de tal manera que $2BE=EA$ y $2AD=DC$. Si P es el punto de intersección de $CE$ y $BD$, demostrar que $AP$ es perpendicular a $CE$.