Geometría

Dos lados de un triángulo forman un ángulo de 60 grados, y uno mide el doble que el otro. ¿Cuánto miden los otros dos ángulos? Justifica tu respuesta.

 En la base $BC$ del isósceles $ABC$ (con $AB=AC$) se eligen los puntos $M,N$ en el orden $B,M,N,C$. Demostrar que, si existe un punto $P$ tal que $MP=BM, PN=NC$ y $\angle{MPN}=2\angle{CBA}$ entonces $2\angle{MAN}+\angle{MPN}=180$

 En la hipotenusa $BC$ del triángulo isósceles rectángulo $ABC$  se han elegido los puntos $M,N$ en el orden $B,M,N,C$, de tal manera que $BM^2+NC^2=MN^2$. Encontrar, con prueba, la medida del ángulo $\angle{MAN}$

Los ángulos en la base $BC$ del isósceles $ABC$ miden 40 grados. El lado $AB$ se prolonga hasta el punto $D$ de manera que $B$ quede entre $A$ y $D$ y $AD=BC$. ¿Cuánto mide el ángulo $BCD$?

Sean $D,E$ puntos en el exterior del triángulo $ABC$ tales que los triángulos $ABD$ y $ACE$ son isósceles rectángulos en $D$ y $E$, respectivamente. Demostrar que si $F$ es punto medio de $BC$, entonces el triángulo $DEF$ es isósceles rectángulo en $F$

Sea $M$ un punto en el arco $AB$ del circuncírculo del triángulo equilátero $ABC$. Demostrar que $AM+MB=MC$.

En un triángulo isósceles $ABC$, con $AB=AC$ y ángulo en A de 20 grados, los puntos $D$ en $AC$ y $E$ en $AB$ son tales que $\angle{DBC}=60$ y $\angle{ECB}=50$. Encontrar, con prueba, la medida del $\angle{EDB}$

Demostrar que, en un triángulo ABC, la bisectriz del ángulo A y la mediatriz del lado BC concurren en el circuncírculo de ABC.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB>AC>BC$. Sea $D$ un punto sobre el lado $AB$ de tal manera que $CD = BC$, y sea $M$ el punto medio del lado $AC$. Muestra que $BD = AC$ si y sólo si $\angle{BAC} = 2\angle{ABM}.$

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo y, $AD, BE$ y $CF$ sus alturas. La circunferencia con diámetro $AD$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de $AD$ con $EF$ y $MN$, respectivamente. Demuestra que $Q$ es el punto medio de $PD$.