Problemas
También puedes compartirnos alguno de tus problemas favoritos:
Fichas de dominó en un tablero de ajedrez
Una ficha de dominó es de $2\times 1$ o de $1\times 2$ cuadrados unitarios. Determina de cuántas maneras distintas se pueden acomodar exactamente $n^2$ fichas de dominó en un tablero de ajedrez de tamaño $2n\times 2n$ de forma que cualquier cuadrado de $2\times 2$ contiene al menos dos cuadrados unitarios sin cubrir que están en la misma fila o en la misma columna.
Focos distribuidos en una circunferencia (P1)
Se tienen 25 focos distribuidos de la siguiente manera: los primeros 24 se disponen en una circunferencia colocando un foco en cada uno de los vértices de un 24-ágono regular, y el foco restante se coloca en el centro de dicha circunferencia. Se permite aplicar cualquiera de las siguientes dos operaciones:
Relaciones combinatorias
Sean $r,n$ enteros no negativos tales que $r\leq{n}$.
a) Demostrar que $$\frac{n+1-2r}{n+1-r}C(n,r)$$ es un entero.
b) Demostrar que
$$ \sum_{r=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac{n+1-2r}{n+1-r}C(n.r)<2^{n-2}$$ para todo $n\geq 9$.
(Nota: $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero menor o igual que x, y $C(n,r)$ es el número de subconjuntos de tamaño r tomados de un conjunto de tamaño n.)
Viaje redondo
Air Michael y Air Patrick operan vuelos directos que conectan Belfast, Cork, Dublin, Galway, Limerick y Waterford. Para cada par de ciudades exactamente una de las aerolíneas opera la ruta (en ambos sentidos) conectando las ciudades.Demostrar que hay cuatro ciudades para las cuales una de las aerolíneas opera un viaje redondo. (Un viaje redondo para las ciudades P,Q,R,S es un viaje que va de P a Q, de Q a R, de R a S y de S a P.)
Un cubo y muchos cubitos
Un cubo de $n \times n \times n$ está construido con cubitos de $1\times 1 \times 1 $, algunos negros y otros blancos, de manera que en cada uno de los subprismas de $n \times 1 \times 1 $, de $1 \times n \times1 $ y de $1 \times 1 \times n$ hay exactamente dos cubitos negros y entre ellos hay un número par (posiblemente 0) de cubitos blancos intermedios. Por ejemplo, en la siguiente ilustración, se muestra una posible rebanada de cubo de $6 \times 6 \times 6 $ (formada por 6 subprismas de $1\times{6}\times{1}$
Competencia entre 7 jugadores!!!
Se quiere diseñar una competencia entre 7 jugadores de tal manera que de cualquier colección de 3 de ellos al menos dos compitan entre sí. ¿Cuál es el mínimo número de juegos con el que se puede lograr esta condición?
Testamento..... A ver si puedes
La mamá de Vero esta haciendo su testamento. A sus tres hijas le dará en herencia el número de pesos que calculen como sigue:
EGMO Problema 2 - Máxima cantidad de renglones en una tabla
Sea $n$ un entero positivo, encuentra el entero más grande $m$, en términos de $n$ con la siguiente propiedad:
Una tabla con m renglones y n columnas puede ser llenada con números reales de tal manera que dos diferentes renglones, $[a_1, a_2, \dots , a_n]$ and $[b_1, b_2, \ldots, b_n]$ satisfacen que $$\max(|a_1 − b_1|, |a_2 − b_2|,\dots , |a_n − b_n|) = 1.$$
©Traducido de la versión en ingles por Matetam.com
Juego de intercambios con piedras coloreadas
Sean $k$ y $n$ enteros positivos con $k\geq 2$. En una línea recta se tienen $kn$ piedras de $k$ colores diferentes. de tal forma que hay $n$ piedras de cada color. Un paso consiste en intercambiar de posición dos piedras adyacentes. Encontrar el menor entero positivo $m$ tal que siempre es posible lograr con a lo sumo $m$ pasos que las $n$ piedras de cada color queden seguidas si:
- a) $n$ es par,
- b) $n$ es impar y $k=3$
Por 2, por 3 o más uno
En la pizarra está escrito el número 2. Ana y Bruno juegan alternadamente, comenzando por Ana. Cada uno en su turno sustituye el número escrito por el que se obtiene de aplicar exactamente una de las siguiente operaciones: multiplicarlo por 2 o multiplicarlo por 3 o sumarle 1. El primero que obtenga un resultado mayor o igual a 2011 gana. Decidir quién tiene una estrategia ganadora y describirla.
Mesa redonda con vasijas y personas
Alrededor de una mesa redonda hay 12 personas, y sobre la mesa hay 28 vasijas. Una persona puede ver a otra si y sólo si no hay ninguna vasija alineada con ellos. Demostrar que hay por lo menos dos personas que se pueden ver la una a la otra.
El juego de biribol
En un partido de biribol se enfrentan dos equipos de cuatro jugadores cada uno. Se organiza un torneo de biribol en el que participan $n$ personas, que forman equipos para cada partido (los equipos no son fijos). Al final del torneo se observó que cada dos personas disputaron exactamente un partido en equipos rivales. Determinar para qué valores de $n$ es posible organizar un torneo con tales características.
Saltos dragón en un tablero
En un tablero cuadriculado de tamaño $19\times 19$, una fiha llamada dragón da saltos de la siguiente manera: se desplaza 4 casillas en una dirección paralela a uno de los lados del tablero y 1 casilla en dirección perpendicular a la anterior.
Disputa por un territorio circular
Dos equipos, $A$ y $B$, disputan el territorio limitado por una circunferencia. $A$ tiene $n$ banderas azules y $B$ tiene $n$ banderas blancas ($n\geq 2$, fijo). Juegan alternadamente y $A$ comienza el juego.
Paseos de una ficha en un tablero
Los números $1,2,3,\ldots,n^2$ se colocan en las casillas de una cuadrícula de $n\times n$, en algún orden, un número por casilla. Una ficha se encuentra inicialmente en la casilla con el número $n^2$. En cada paso, la ficha puede avanzar a cualquiera de las casillas que comparten un lado con la casilla donde se encuentra. Primero, la ficha viaja a la casilla con el número 1, y para ello toma uno de los caminos más cortos (con menos pasos) entre la casilla con el número $n^2$ y la casilla con el número 1.
Coloreo roji-azul de 2n puntos alineados
Dado un entero positivo $n$, en un plano se consideran $2n$ puntos alineados $A_1, A_2,\ldots, A_{2n}$. Cada punto se colorea de azul o rojo mediante el siguiente procedimiento:
- En el plano dado se trazan $n$ circunferencias con diámetros de extremos $A_i$ y $A_j$ , disyuntas dos a dos.
- Cada $A_k, 1\leq k\leq 2n$, pertenece exactamente a una circunferencia.
- Se colorean los puntos de modo que los dos puntos de una misma
circunferencia lleven el mismo color.
Determine cuántas coloraciones distintas de los $2n$ puntos se pueden obtener al variar las $n$ circunferencias y la distribución de los dos colores.
Pulga saltona --en la recta numérica
Una pulga salta sobre puntos enteros de la recta numérica. En su primer movimiento
salta desde el punto 0 y cae en el punto 1. Luego, si en un movimiento la pulga saltó desde el punto $a$ y cayó en el punto $b$, en el siguiente movimiento salta desde el punto $b$ y cae en uno de los puntos $b + (b - a) - 1, b + (b - a), b + (b - a) + 1.$
Demuestre que si la pulga ha caído dos veces sobre el punto $n$, para $n$ entero
positivo, entonces ha debido hacer al menos $t$ movimientos, donde $t$ es el menor
entero mayor o igual que $2\sqrt{n}$.
Condiciones de coloreo de un tablero
Se deben colorear casillas de un tablero de $1001\times 1001$ de acuerdo a las reglas siguientes:
- Si dos casillas tienen un lado común, entonces al menos una de ellas se debe colorear.
- De cada seis casillas consecutivas de una fila o de una columna, siempre se deben colorear al menos dos de ellas que sean adyacentes.
Determinar el número mínimo de casillas que se deben colorear.
k-Subconjunto sin seis consecutivos
Sea $M =\{1,2,\ldots,49\}$ el conjunto de los primeros 49 enteros positivos. Determine el máximo entero $k$ tal que el conjunto $M$ tiene un subconjunto de $k$ elementos en el que no hay 6 números consecutivos. Para ese valor máximo de $k$, halle la cantidad de subconjuntos de $M$, de $k$ elementos, que tienen la propiedad mencionada.
Sucesiones de 2003 consecutivos
- (a) Se tienen dos sucesiones de números, con 2003 enteros consecutivos y una tabla de dos renglones y 2003 columnas. Decida si siempre es posible distribuir los números de la primera sucesión en el primer renglón y la segunda sucesión en el segundo renglón, de tal manera que la sucesión obtenida de las 2003 sumas por columna forman una nueva sucesión de 2003 enteros consecutivos.
- (b) Misma pregunta si hubiera 2004 columnas.
En ambos casos, si la respuesta es afirmativa, explique cómo se distribuirían los números, y si es negativa explicar por qué.