Problemas

Dos planos en un espacio proyectivo de dimensión 4, $S_4$, se dice que son oblicuos (skew en inglés) si se intersectan en un sólo punto. Sean $\pi$, $\alpha$ y $\beta$ tres planos mutuamente oblicuos en $S_4$. Demuestra que existe un único plano de $S_4$ que intesecta a cada uno de los planos $\pi$, $\alpha$ y $\beta$ en una recta.

Sea $ABCD$ un cuadrángulo en el plano Euclideano extendido (PEE). Sea $X = AB \cap CD$, $Y= BD \cap CA$, $Z = AD\cap BC$. El triángulo $XYZ$ es llamado triángulo diagonal.

Dibuja la configuración dual (el cuadrilátero y su trilátero diagonal).

Considera un triángulo ABC y un punto M sobre el lado BC. Sea P la intersección de las perpendiculares a AB por M y a BC por B, y sea Q la intersección de las perpendiculares a AC por M y a BC por C. Muestra que PQ es perpendicular a AM si y sólo si M es punto medio de BC.

Sean ABCD un cuadrado y M un punto en el interior de éste. Construir con regla y compás un cuadrado PQRS con sus vértices sobre los lados de ABCD y que M esté sobre alguno de los lados de PQRS.

El incírculo del triángulo $\triangle ABC$ es tangente al lado $AB$ en el punto $P$ y al lado $BC$ en el punto $Q$. El círculo que pasa por los puntos $A,P,Q$ corta por segunda vez a la recta $BC$ en $M$ y el círculo que pasa por los puntos $C,P,Q$ corta por segunda vez a la recta $AB$ en el punto $N$.

Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$, con el mismo radio, que se cortan en $A$ y en $B$. Sea $P$ un punto sobre el arco $AB$ de $C_2$ que está dentro de $C_1$. La recta $AP$ corta a $C_1$ en $C$, la recta $CB$ corta a $C_2$ en $D$ y la bisectriz del $\angle CAD$ intersecta a $C_1$ en $E$ y a $C_2$ en $L$. Sea $F$ el punto simétrico a $D$ con respecto al punto medio de $PE$. Demostrar que existe un punto $X$ que satisface $\angle XFL = \angle XDC = 30^\circ$ y $CX = O_1O_2$.

En un cubo de arista 6 los puntos medios B,D de dos aristas opuestas, y dos vértices opuestos A,C pero no en las aristas de los puntos medios B,D,  forman un cuadrilátero ABCD. Encontrar el área de ese cuadrilátero.

El área del triángulo $ABC$ es un entero. Sobre los lados $BC$ y $AC$ se eligen los puintos $X$ y $Y$, respectivamente. Los segmentos $AX$ y $BY$ se cortan en un punto $P$ dentro del triángulo $ABC$. El área de $BPX$ es 1, la de $APY$ es 2, y la de $APB$ es un entero. Encontrar el área del triángulo $ABC.$

Sea ABCD un cuadrilátero para el cuál existen cuatro puntos P, Q, R y S sobre los lados AB, BC, CD y DA respectivamente y tales que PB=BQ, QC = CR, RD = DS y  SA = AP. Demuestra que:

• a) El cuadrilátero ABCD es circunscrito
• b) El cuadrilátero PQRS es cíclico.