Problemas
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Circuncírculo de un acutángulo y las alturas de éste
Un triángulo acutángulo $ABC$ está inscrito en una circunferencia de centro $O$. Las alturas del triángulo son $AD, BE$ y $CF$. La recta $EF$ corta a la circunferencia en $P$ y $Q$.
- a) Pruebe que $OA$ es perpendicular a $PQ$.
- b) Si $M$ es el punto medio de $BC$, pruebe que $AP^2 = 2AD\cdot OM$
Factor primo de un número con dígitos 1,3,7,9
Sea $B$ un entero mayor que 10 tal que cada uno de sus dígitos pertenece al conjunto $\{1, 3, 7, 9\}$. Demuestre que $B$ tiene un factor primo mayor o igual que 11.
Nubes de circunferencias coloreadas
Sean $n$ puntos distintos, $P_1, P_2,\ldots, P_n$, sobre una recta del plano ($n \geq 2$). Considere todas las circunferencias de diámetro $P_iP_j$ ($1\leq i \leq j\leq n$) y coloreadas cada una con uno de $k$ colores dados. Llamamos $(n-k)$-nube a esta configuración.
Para cada entero positivo $k$, determine todos los $n$ para los cuales se verifica que toda $(n-k)$-nube contiene dos circunferencias tangentes exteriormente del mismo color.
Nota: Para evitar ambigüedades, los puntos que pertenecen a más de una circunferencia no llevan color.
Circunferencias bisecantes
Dadas dos circunferencias $M$ y $N$, decimos que $M$ biseca a $N$ si la cuerda común es un diámetro de $N$. Considere dos circunferencias fijas $C_1$ y $C_2$ no concéntricas.
- a) Pruebe que existen infinitas circunferencias $B$ tales que $B$ biseca a $C_1$ y $B$ biseca a $C_2$.
- b) Determine el lugar geométrico de los centros de las circunferencias $B$.
Resto del término 1998 en la división entre 1998
Sea $\lambda$ la raíz positiva de la ecuación $t^2 - 1998t - 1 = 0$. Se define la sucesión $x_0 , x_1 ,x_2 ,\ldots, x_n ,\ldots$ por:
$$x_0 = 1, x_{n + 1} = [\lambda x_n],$$ para $n = 0, 1, 2,\ldots$
Hallar el residuo (resto) de la división de $x_{ 1998}$ entre 1998.
NOTA: $[x]$ es el único entero $k$ tal que $k\leq x \leq k + 1$.
Distancias entre pares de puntos en el plano
Hallar el máximo valor posible de $n$ para que existan puntos distintos $P_1, P_2, P_3,\ldots,P_n$ en el plano y números reales $r_1, r_2,\ldots, r_n$ de modo que la distancia entre cualesquiera dos puntos diferentes $P_i$ y $P_j$ sea $r_i + r_j$.
Paisanos en una mesa redonda
Alrededor de una mesa redonda están sentados representantes de $n$ países ($n\geq 2$), de tal manera que si dos representantes son del mismo país, entonces sus vecinos de la derecha no son del mismo país. Determinar, para cada $n$, el número máximo de personas que pueden sentarse alrededor de la mesa.
Cardinalidad mínima de subconjuntos con una cierta propiedad
Hallar el mínimo número natural $n$ con la siguiente propiedad: entre cualesquiera $n$ números distintos, en el conjunto $\{1, 2, \ldots, 999\}$ es posible elegir cuatro diferentes $a, b, c, d$, tales que $a + 2b + 3c = d$.
Caracterización del isósceles vía su incírculo
La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC, CA$ y $AB$ en los puntos $D, E$ y $F$, respectivamente. $AD$ corta a la circunferencia en un segundo punto $Q$. Demostrar que la recta $EQ$ pasa por el punto medio de $AF$ si, y solamente si, $AC = BC$.
98 puntos en una circunferencia
En una circunferencia hay dados 98 puntos. María y José juegan alternadamente de la siguiente manera: cada uno traza un segmento que une dos puntos que no han sido unidos antes. El juego finaliza cuando los 98 puntos han sido usados como extremos de al menos un segmento. El ganador es quien traza el último segmento. Si José inicia el juego ¿quién puede asegurarse la victoria?
Un triedro trirrectángulo
Sea $OXYZ$ un triedro trirrectángulo de vértice $O$ y aristas $X, Y, Z$. Sobre la arista $Z$ se toma un punto fijo $C$, tal que $OC = c$. Sobre $X$ y $Y$ se toman respectivamente dos puntos variables $P$ y $Q$ de modo que la suma $OP + OQ$ sea una constante dada $k$. Para cada par de puntos $P$ y $Q$, los cuatro puntos $O, C, P, Q$ están en una esfera, cuyo centro $W$ se proyecta sobre el plano $OXY$. Razonar cuál es el lugar geométrico de esa proyección. Razonar también cuál es el lugar geométrico de $W$.
Un juego de azar
Una máquina de juego de un casino tiene una pantalla en la que se ofrece un esquema como el de la figura.
Para comenzar el juego aparece una bola en el punto $S$. A cada impulso que recibe del jugador, esa bola se mueve hasta una de las letras adyacentes con la misma probabilidad para cada una de ellas. La partida termina al ocurrir el primero de los dos hechos siguientes:
- a) La bola vuelve a $S$ y entonces el jugador pierde.
- b) La bola llega a $G$ y entonces el jugador gana.
Se pide la probabilidad de que el jugador gane y la duración media de las partidas.
Distancias entre puntos de una cuadrícula
Se dan 16 puntos formando una cuadrícula como en la figura
De ellos se han destacado $A$ y $D$. Se pide fijar,de todos los modos posibles, otros dos puntos $B$ y $C$ con la condición de que las seis distancias determinadas por los cuatro puntos sean distintas. En ese conjunto de cuaternas, estudiar:
Triángulo aritmético
Sea dado el triángulo aritmético
0 1 2 3 4 ............. 1991 1992 1993
1 3 5 7...................... 3983 3985
4 8 12............................. 7968
...
(donde cada número es la suma de los dos que tiene encima, cada fila tiene un número menos y en la última sólo hay un número). Demostrar que el último número es múltiplo de 1993.
Segmentos formados por n puntos
Se tienen $n$ puntos distintos $A_1, A_2,\ldots,A_n$ en el plano y a cada punto $A_i$ se ha asignado un número real $\lambda$ distinto de cero, de manera que $\overline{A_iA_j}^2=\lambda_i+\lambda_j$, para todos los $i,j,i\neq j$
Demuestre que
(a) $n\leq 4$
(b) Si $n = 4$, entonces $\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}+\frac{1}{\lambda_3}+\frac{1}{\lambda_4}=0$
Coloreo de triángulos con fichas
Tres fichas $A, B, C$ están situadas una en cada vértice de un triángulo equilátero de lado $n$. Se ha dividido el triángulo en triangulitos equiláteros de lado 1, tal como muestra la figura en el caso $n = 3$.
Inicialmente todas las líneas de la figura están pintadas de azul. Las fichas se desplazan por las líneas, pintando de rojo su trayectoria, de acuerdo con las dos reglas siguientes:
Suma de fracciones 1/ab
Dado un número natural $n\geq 2$ considere todas las fracciones de la forma $1/ab$, donde $a$ y $b$ son números naturales, primos entre sí y tales que $$a < b \leq n$$ $$a + b \gt n$$ Demuestre que para cada $n$, la suma de estas fracciones es 1/2.
Método para distribuir ceros y unos en un tablero
Tenemos un tablero cuadriculado de $k^2 - k + 1$ filas y $k^2 - k + 1$ columnas, donde $k = p + 1$ y $p$ es un número primo. Para cada primo $p$, dé un método para distribuir números entre 0 y 1, un número en cada casilla del tablero, de modo que en cada fila haya exactamente $k$ números $0$ en cada columna haya exactamente $k$ números $0$ y además no haya ningún rectángulo de lados paralelos a los lados del tablero con números 0 en sus cuatro vértices.
Punto medio de la mediana
Sea $M$ el punto medio de la mediana $AD$ del triángulo $ABC$ ($D$ pertenece al lado $BC$). La recta $BM$ corta al lado $AC$ en el punto $N$. Demuestre que $AB$ es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo $NBC$ si, y sólo si, se verifica la igualdad $$\frac{BM}{MN}=\left(\frac{BC}{BN}\right)^2$$
Cubo formado por 1996 cubos
Sea $n$ un número natural. Un cubo de arista $n$ puede ser dividido en $1996$ cubos cuyas aristas son también números naturales. Determine el menor valor posible de $n$.