Publicaciones Recientes
P3. Coloreando la recta numérica
Cada número entero de la recta numérica se pinta de rojo o azul según las siguientes reglas:
- El número $1$ es rojo.
- Si $a$ y $b$ son dos números rojos, no necesariamente diferentes, entonces los números $a-b$ y $a + b$ tienen colores diferentes.
Determina el color del número $2025$.
P2. Números Tamaulipecos al estilo de Gauss
Sean $m,n$ enteros positivos tal que $m$ tiene $n$ dígitos. Sea $m=\overline{a_n\dots a_2a_1}$. Decimos que $m$ es $tamaulipeco$ si se cumple que $a_{n-k+1}+a_k=3$ para todo $1 \leq k \leq n$. Sea $s(m)$ la suma de los dígitos de $m$. Encuentra el menor número $tamaulipeco$ tal que $s(m)=2025$.
P1. 24 sí y solo sí 48
Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$. Sea $D$ un punto sobre el segmento $AC$ tal que $AD = AB$. Demuestra que $\angle DBC=24^{\circ}$ sí y sólo sí $\angle ABC - \angle ACB = 48^{\circ}$.
P6. Matilda colocando fichas en la cuadrícula
Considere una cuadrícula de $2025 \times 2025$ cuadrados unitarios. Matilda desea colocar en la cuadrícula algunas fichas rectangulares, posiblemente de diferentes tamaños, de modo que cada lado de cada ficha se encuentre sobre una línea de la cuadrícula y cada cuadrado unitario esté cubierto como máximo por una ficha.
Determine el mínimo número de fichas que Matilda debe colocar para que cada fila y cada columna de la cuadrícula tenga exactamente un cuadrado unitario que no esté cubierto por ninguna ficha.
P5. Jugando con ecuaciones raras
Alicia y Bazza juegan al $inekoalaty$, un juego para dos jugadores cuyas reglas dependen de un número real positivo $\lambda$ conocido por ambos. En el turno $n$ del juego (comenzando con $n=1$) ocurre lo siguiente:
- Si $n$ es impar, Alicia elije un número real no negativo $x_n$ tal que: $$x_1 + x_2 + \dots + x_n \leq \lambda n$$
- Si $n$ es par, Bazza elije un número real no negativo $x_n$ tal que: $$x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 \leq n$$
Si un jugador no puede elegir un $x_n$ adecuado, el juego termina y el otro jugador gana. Si el juego continúa indefinidamente ningún jugador gana. Ambos jugadores conocen todos los números elegidos.
P4. Divisores propios en una sucesión infinita
Un divisor propio de un entero positivo $N$ es un divisor positivo de $N$ distinto de $N$.
La sucesión infinita $a_1, \ a_2, \dots$ está formada por enteros positivos, cada uno con al menos 3 divisores propios. Para cada $n \geq 1$ el entero $a_{n+1}$ es la suma de los tres mayores divisores propios de $a_n$.
Determina todos los valores posibles de $a_1$.
P3. Funciones Bonza
Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Una función $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ se llama $genial$ si
$$f(a) | b^a-f(b)^{f(a)}$$
Para todos los enteros positivos $a, b$.
Determine la menor constante real $c$ tal que $f(n) \leq cn$, para todas las funciones $geniales \ f$ y todos los enteros positivos $n$.
P2. Paralela tangente a un circuncírculo
Sea $\Omega$ y $\Gamma$ circunferencias de centros $M$ y $N$ respectivamente tales que el radio de $\Omega$ es menor al radio de $\Gamma$. Supongamos que las circunferencias $\Omega$ y $\Gamma$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $B$. La recta $MN$ corta a $\Omega$ en $C$ y a $\Gamma$ en $D$, de forma que los puntos $C, \ M,\ N, \ D$ están en esa recta en ese orden. Sea $P$ el circuncentro del triángulo $ACD$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Omega$ en $E \neq A$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $F \neq A$. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $PMN$.
Demuestre que la recta paralela a $AP$ que pasa por $H$ es tangente al circuncírculo del triángulo $BEF$.
P1. Rectas soleadas
Una recta del plano se llama $soleada$ si no es paralela ni al eje $x$, ni al eje $y$, ni a la recta $x+y=0$.
Sea $n \geq 3$ un entero dado. Determine todos los enteros no negativos $k$ para los que existen $n$ rectas distintas del plano tal que:
- Para cualesquiera enteros positivos $a$ y $b$ con $a+b \leq n+1$, el punto $(a,b)$ está en al menos una de las rectas
- Exactamente $k$ de estas $n$ rectas son soleadas
Empiezan los selectivos rumbo a la OMM
El día de hoy es de mi agrado informar que tendremos nuestros primeros entrenamientos presenciales y exámenes selectivos de formato nacional. Una asistencia de 32 alumnos aproximadamente. De aquí seleccionaremos a mínimo los 20 mejores que tendrán su pase al segundo selectivo (de 3).
Como mencioné anteriormente, ya seguiremos el formato del concurso nacional, es decir, serán 2 exámenes, 3 problemas cada uno, con duración de 4.5 horas cada uno. Cada problema tendrá un valor de 7 puntos, siendo 42 puntos la calificación máxima.
