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3.- Orquesta Matemática
Sea $n>1$ un entero y sea $d_1 < d_2 < \dots < d_m$ la lista completa de sus divisiores positivos, incluidos $1$ y $n$. Los $m$ instrumentos de una orquesta matemática se disponen a tocar una pieza musical de $m$ segundos, donde el instrumento $i$ tocará una nota de tono $d_i$ durante $s_i$ segundos (no necesariamente consecutivos), donde $d_i$ y $s_i$ son enteros positivos. Decimos que esta pieza tiene sonoridad $S = s_1 + s_2 + \cdots + s_m $.
2.- Ataque de torres en un tablero cúbico.
Sea $n$ un entero positivo. David tiene 6 tableros de ajedrez de $n \times n$ que ha dispuesto de manera que formen las 6 caras de un cubo de $n \times n \times n$. Se dice que dos casillas $a$ y $b$ de este nuevo tablero cúbico están alineadas si podemos conectarlas por medio de un camino de casillas $a = c_1, c_2, \dots, c_m = b$ de manera que cada pareja de casillas consecutivas en el camino comparten un lado, y los lados que la casilla $c_i$ comparte con sus vecinas son lados opuestos del cuadrado $c_i$, para $i = 2, 3, \dots, m-1$. Diremos que dos torres colocadas sobre el tablero se atacan; si las casillas que ocupan están alineadas. David coloca algunas torres sobre el tablero de forma que ninguna ataque a otra.
1.- Números Tlahuicas
Un número $x$ es Tlahuica si existen números primos distintos $p_1, p_2 \dots, p_k$ tales que
$$x= \frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + ... + \frac{1}{p_k}$$Determina el mayor número Tlahuica que satisface las dos propiedades siguientes:
- 0 < x < 1
- existe un número entero $0 < m \leq 2022$ tal que $mx$ es un entero.
El 6 del último selectivo 2022
Se definen las sucesiones xn y yn mediante las siguientes reglas:
- x0 = 2, x1 = 5, xn+1 = xn + 2xn-1
- y0 = 3, y1 = 4, yn+1 = yn + 2yn-1
Demuestra que no hay números que estén en ambas sucesiones.
Sin miedo al factorial
Determina el menor entero positivo $n$ tal que para todo entero positivo $u$ se cumple que $n+u!$ sea un número de al menos 4 divisores
Isósceles en 2 circunferencias de mismo radio
Sean $\alpha$ y $\beta$ dos circunferencias con el mismo radio. Dichas circunferencias se intersectan en puntos$P$ y $Q$. Sea $X$ un punto en $\alpha$. La recta $QX$ intersecta a $\beta$ en un punto $Z$, de manera que $Z$ queda entre $X$ y $Q$. Demuestra que $PX=PZ$.
Paralelogramo con solo 3 vértices en una circunferencia
Sea $ABCD$ un paralelogramo. Sean $K$ y $L$ las intersecciones del circuncírculo de $ABC$ con los lados $AD$ y $CD$ respectivamente. Sea $M$ el punto medio del arco $KL$ que no contiene a $B$. Demuestra que $DM$ es perpendicular a $AC$.
Múltiplos de 9 con restricciones
¿Cuántos múltiplos de 9 menores que 1000 no usan ningún digito menor que 3?
Promedio de un colección de m números
a) Demuestra que si a una colección de $m$ números le agregamos su promedio, la nueva colección de $m+1$ números tendrá el mismo promedio.
b) Demuestra que el promedio de una colección de m números es menor o igual a su número más grande, y mayor o igual a su número más pequeño.
EXTRA PARA ENTRENAMIENTO:
c) Demuestra que si a la colección le agregamos un número menor al promedio, entonces el promedio disminuye. En cambio, si agregamos un número mayor al promedio, entonces el promedio aumenta.
El 6 del estatal 2022
En una circunferencia $\Gamma$ con centro en $D$ se trazan dos tangentes $AE$ y $AF$ con $E$ y $F$ sobre $\Gamma$. Sean $B$ y $C$ puntos sobre los segmentos $AE$ y $AF$ respectivamente de tal manera que $BC$ también es tangente a $\Gamma$. Sea $J$ la intersección de $BD$ con $EF$. Demuestra que el ángulo $CJB$ es un ángulo recto.
