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En días pasados subí a MaTeTaM todos los problemas de la ONMAS que pude encontrar, y hubo uno que ya había publicado en 2010 y que llamó mi atención pues se ve bastante difícil... y más difícil es la solución que envió Brandon en su momento (basada en una semejanza). 

Bueno, lo difícil es entender la demostración que da de la semejanza --yo no le entendí. El caso es que lo traje en al cabeza varios días, lo resolví de otra manera (por ortocentro) y generé un problema parecido... pero no podía demostrar la semejanza (que parecía obvia en la figura) de una manera alternativa a la que dio Brandon.

Hablando de la educación matemática en USA, un matemático americano desencantado decía: lo verdaderamente extraordinario es encontrar un niño que resuelva problemas de rutina con métodos de rutina. (Ver la segunda postdata de mi post sobre la división larga.)

Hay pocas cosas que le alegran el día a un profesor de matemáticas desencantado de la educación. Una de ellas es encontrar o descubrir un niño con aquellas habilidades matemáticas que solían ser las obligatorias.

Después de escribir el post sobre paridad estuve navegando la Web con el tema invariantes, otro tipo de razonamiento en el problem solving de olimpiada que generalmente acompaña al de paridad.

Voy a discutir en este post un razonamiento elemental en el campo de las matemáticas de concurso denominado argumento de paridad. Es recurrente en el problem solving de olimpiada. Se presentan las propiedades básicas de la paridad y algunas instancias de uso.

Discusión previa

Así como las personas pueden ser clasificados por su sexo (femenino/masculino), los números enteros se pueden clasificar por su paridad (par, impar).

La paridad de un entero es así una variable dicotómica: el número es par o bien no lo es (en cuyo caso se le llama impar o non). Una clasificación elemental... pero tiene sus detalles finos (esa verdad no está en los libros, sino en sus instancias de uso).

Voy a discutir en este post una propiedad de la divisibilidad que surge cuando la suma de dos números es múltiplo de un primo. Se le podría llamar propiedad de transferencia de la divisibilidad. Incluyo dos instancias de uso en el problem solving de olimpiada.

Una propiedad de transferencia

Considere la suma $a+b$ de dos números enteros y supongamos que es múltiplo de un primo $p$. Puede suceder que ninguno de los sumandos sea múltiplo de $p$. Pero si alguno lo es, entonces también lo es el otro. Formalmente, la propiedad se puede establecer así:

$a,b\in\mathbb{Z},p$ primo, $p|a+b\Rightarrow (p|a\Leftrightarrow p|b)$

Si dos cantidades son iguales entonces son intercambiables --en el cálculo o demostración.

Parece trivial. Y lo es. Pero hay que aprender a usarlo. Antiguamente se solía decir:

Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.

Pero no se trata de aprender a recitarlo, se trata de aprender a usarlo.

Ejemplos:

1. Considere el sistema $x+y=z$, $z=5$

Aquí tenemos que (dos cosas) $x+y$ y 5 son iguales a $z$ (una tercera).  Por tanto, $x+y=5$ (son iguales entre sí).

Voy a plantear en este post la solución a un problema de lugar geométrico (creo que es de un nacional de la OMM). Implícitamente vuelvo sobre la comparación de las técnicas analíticas y las soluciones sintéticas que he abordado en otros posts.

En este post voy a presentar el conocido procedimiento de dividir un polinomio entre $x-c$ denominado división sintética.

División larga en polinomios

Consideremos la fracción racional $$\frac{x^3-2x^2-x+2}{x-1}$$ Y supongamos que deseamos efectuar la división con miras a simplificarla.

Iba a poner un post sobre división sintética. Lo pospuse para el siguiente. Pues ese algoritmo requiere saber los rudimentos de la división larga. Así que me entretuve (trasquilé la borrega) averiguando cómo se hace (si es que se hace) para enseñar la división larga en la primaria.  Y el resultado es este post sobre la división larga. Pues tengo la sospecha (que no carece de evidencia) de que más de la mitad de los alumnos de secundaria no manejan ese algoritmo --mi evidencia son mis alumnos en la universidad...

 El sábado 14 de enero iniciamos Ramón Llanos y yo un curso-taller de resolución de problemas en la UAMCEH-UAT (según la idea del post 20 problemas)