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Discusión sobre un problema de geometría

Enviado por jmd el 8 de Julio de 2012 - 21:58.

En este post voy a tratar de ilustrar, a través de un problema de geometría, la tesis de que la competencia experta en el problem solving requiere de una combinación de técnicas y conocimiento conceptual (de competencias conceptuales pero también procedimentales). 

Un problema no trivial de geometría

Tomando como base la diagonal $AC$ de un cuadrado $ABCD$, se construye un rectángulo $ACEF$ de altura el lado del cuadrado y con $D$ dentro de él.

 

Si $H$ es el punto medio de $EF$ y $G$ es la intersección de $AE$ con $CH$, demostrar que

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Los sistemas de numeración y los números binarios

Enviado por jesus el 24 de Junio de 2012 - 00:16.

Los sistemas de numeración son símbolos y reglas para denotar cantidades  Muchas civilizaciones inventaron los suyos, por ejemplo, los romanos usaron la notación I, II, III, IV, .. etcétera.

En nuestros tiempos, el sistema de numeración que usamos cotidianamente se llama sistema de numeración posicional en base 10 (o simplemente sistema decimal).  Es decimal pues se usan diez símbolos (a saber  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y depende de la posición pues no es lo mismo 12 (uno dos) que 21 (dos uno).

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La ley de Murphy en ENLACE 2012

Enviado por jmd el 13 de Junio de 2012 - 12:11.

En el siguiente post voy a comentar algunas leyes de Murphy relacionadas con la pregunta 92 de ENLACE 2012 (3o Sec.), la cual es de plano una metida de pata extrema de los diseñadores de las preguntas.

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Cinco problemas equivalentes al de Fibonacci

Enviado por jmd el 12 de Junio de 2012 - 12:04.

Voy a plantear en este post cinco problemas de combinatoria que son equivalentes al problema de los conejos de Fibonacci, en el sentido de que dan lugar a la misma sucesión (y a la misma recurrencia). La solución de cada uno de ellos se detiene en el modelo, es decir, en el razonamiento por recurrencia que conduce a plantearlo. 

1. Subconjuntos sin consecutivos

¿De cuántas formas se puede elegir un subconjunto de $\{1,2,\ldots,n\}$ de manera que no contenga números consecutivos?

Solución

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Sucesiones, recursividad y diferencias finitas

Enviado por jmd el 30 de Mayo de 2012 - 19:41.

En este post voy a abordar de nuevo el tema de la recursividad a través de algunas sucesiones definidas de manera recursiva. Puesto que la recursión es un tipo de razonamiento muy útil en el problem solving de combinatoria, voy a plantear primero algunos ejemplos de modelación, un tema que se omite en la mayoría de los textos sobre el tema.

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El misterioso hechizo del problem solving

Enviado por jmd el 9 de Mayo de 2012 - 21:16.

En días pasados subí a MaTeTaM todos los problemas de la ONMAS que pude encontrar, y hubo uno que ya había publicado en 2010 y que llamó mi atención pues se ve bastante difícil... y más difícil es la solución que envió Brandon en su momento (basada en una semejanza). 

Bueno, lo difícil es entender la demostración que da de la semejanza --yo no le entendí. El caso es que lo traje en al cabeza varios días, lo resolví de otra manera (por ortocentro) y generé un problema parecido... pero no podía demostrar la semejanza (que parecía obvia en la figura) de una manera alternativa a la que dio Brandon.

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Kevin: talento matemático infantil --en la periferia

Enviado por jmd el 22 de Abril de 2012 - 11:43.

Hablando de la educación matemática en USA, un matemático americano desencantado decía: lo verdaderamente extraordinario es encontrar un niño que resuelva problemas de rutina con métodos de rutina. (Ver la segunda postdata de mi post sobre la división larga.)

Hay pocas cosas que le alegran el día a un profesor de matemáticas desencantado de la educación. Una de ellas es encontrar o descubrir un niño con aquellas habilidades matemáticas que solían ser las obligatorias.

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Ranas, hormigas, camaleones...

Enviado por jmd el 7 de Abril de 2012 - 14:28.

Después de escribir el post sobre paridad estuve navegando la Web con el tema invariantes, otro tipo de razonamiento en el problem solving de olimpiada que generalmente acompaña al de paridad.

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Argumento de paridad: tres instancias de uso

Enviado por jmd el 1 de Abril de 2012 - 23:01.

Voy a discutir en este post un razonamiento elemental en el campo de las matemáticas de concurso denominado argumento de paridad. Es recurrente en el problem solving de olimpiada. Se presentan las propiedades básicas de la paridad y algunas instancias de uso.

Discusión previa

Así como las personas pueden ser clasificados por su sexo (femenino/masculino), los números enteros se pueden clasificar por su paridad (par, impar).

La paridad de un entero es así una variable dicotómica: el número es par o bien no lo es (en cuyo caso se le llama impar o non). Una clasificación elemental... pero tiene sus detalles finos (esa verdad no está en los libros, sino en sus instancias de uso).

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Una propiedad elemental de la divisibilidad

Enviado por jmd el 21 de Marzo de 2012 - 19:03.

Voy a discutir en este post una propiedad de la divisibilidad que surge cuando la suma de dos números es múltiplo de un primo. Se le podría llamar propiedad de transferencia de la divisibilidad. Incluyo dos instancias de uso en el problem solving de olimpiada.

Una propiedad de transferencia

Considere la suma $a+b$ de dos números enteros y supongamos que es múltiplo de un primo $p$. Puede suceder que ninguno de los sumandos sea múltiplo de $p$. Pero si alguno lo es, entonces también lo es el otro. Formalmente, la propiedad se puede establecer así:

$a,b\in\mathbb{Z},p$ primo, $p|a+b\Rightarrow (p|a\Leftrightarrow p|b)$

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