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Voy a elaborar en este post sobre un tema que atrajo mi atención hace algunos meses y que en estos días volví a estudiar. Es el tema de los prototipos --y su utilidad en la educación matemática.

¿Definir o no definir?

Si bien es cierto que las matemáticas escolares o, mejor dicho, la didáctica de las matemáticas escolares, rehuyen las definiciones, también lo es que en los cursos universitarios de matemáticas, y ciertamente en las matemáticas de concurso, las definiciones formales son imposibles de evitar (bueno, si es que realmente se quiere enseñar y aprender matemáticas y entrenar y ganar concursos).

Voy a discutir en este post cuatro problemas de geometría básica que se resuelven de manera elemental invocando dos triángulos notables. Estos triángulos son el isósceles rectángulo (la mitad de un cuadrado) y el 30-60-90 (la mitad de un triángulo equilátero). En los dos problemas de inicio, la solución presentada invoca el isósceles rectángulo; en los otros dos se debe invocar la mitad de un equilátero.

Primer problema (el Cuadrado de Sócrates)

Dado el lado $\lambda$ de un cuadrado, construir el cuadrado del doble de área.

Solución

En este post insisto sobre la idea de que la trigonometría libera al cognizador de la obligación de ser creativo --en situaciones en que ningún trazo auxiliar está a la vista (y menos un procedimiento sintético usando teoremas conocidos).

En este post voy a discutir el método de áreas en el problem solving de matemáticas de concurso. El tema ya lo había discutido (un poco de manera reticente) en el post Método de áreas. En esta ocasión voy a profundizar un poco más en ese método, presentando y demostrando un teorema --y algunas de sus instancias de uso.

Voy a discutir en este post algunos conceptos relacionados con las circunferencias incrita y exinscrita. Dichos conceptos forman un todo y conviene aprenderlos en paquete --es muchísimo más fácil retenerlos en la memoria y comprenderlos si se aprenden en sus interconexiones.

Se trata de los conceptos de semiperímetro --en el contexto de ciertas simetrías entre las longitudes de las tangentes de circuncírculo y excírculos--, el concepto de puntos isotómicos, y el de los puntos de Gergonne y Nagel --como ejemplo de puntos conjugados isotómicos.

 Durante el año 2009, al final de uno de los entrenamientos de la OMM Delegación Tamaulipas, Jesús Rodríguez Viorato le planteó el siguiente problema a Luis Brandon --el líder de la selección 2009:

El incírculo de un triángulo $ABC$, es tangente en $D$ al lado $BC$ y $DM$ es un diámetro. El rayo $AM$ corta en $F$ el lado $BC$. Demostrar que $BD=CF$.

Como se sabe, la perspectiva transformacional en geometría permite el movimiento de las figuras y la transferencia de propiedades desde la figura a la figura transformada. De esta manera, la utilidad principal de esta perspectiva es la simplificación del problema, a la manera de un cambio de variable en álgebra. Voy a discutir en este post el caso de la homotecia (una transformación geométrica de muy bajo perfil en las matemáticas escolares) y su uso en el problem solving elemental a través de varios teoremas básicos de la geometría.

En un post anterior se plantearon dos problemas de construcción para ilustrar el poder de la homotecia en el problem solving de geometría. Aquí voy a resolverlos y a comentarlos, dado que --según creo-- merecen un post aparte. ("A: ¿Quieres decir que a la homotecia se le cocina aparte?"  "JMD: Bueno, creo que lo que quiero decir es que el chiste no está en la homotecia misma, sino en saberla menear.")

Primer problema

Sea dado un ángulo y un punto en su interior. Construir una circunferencia tangente a los lados del ángulo y que pase por el punto.

Solución y discusión del primer problema

El teorema de Tales para triángulos es bastante intuitivo pues recurre a la conocida configuración de las paralelas y la transversal: si paralela a la base, entonces los segmentos son proporcionales. 

Sin embargo, el recíproco de Tales nos dice que si los segmentos que determina una transversal en dos lados de un triángulo son proporcionales, entonces esa transversal es paralela al tercer lado.

Voy a ilustrar en este post la multiplicidad de conexiones que un cognizador debería establecer con una teoría previa en el momento de resolver (o estudiar la solución a) un problema de matemáticas escolares. Sostengo que la forma condensada de presentar las soluciones es una forma reticente de comunicar --así sea de manera involuntaria o por razones de estilo de redacción.