Problemas - Geometría
Problema de Cíclicos (mi primera invención)
Sea $ ABC $ un triángulo con incentro $I$ y $AB$ menor que $AC$. Sean $D,E,F$ los puntos de tangencia del incírculo con los lados $BC,CA, AB$, respectivamente. Sean $ H $ la intersección de $BI$ con $EF$, y $G$ la intersección de $CI$ con $EF.$
a) Demostrar que $I$ es el incentro del triángulo $DGH.$
b) Demostrar que las rectas $BG$ y $CH$ concurren sobre la perpendicular a $ BC $ que pasa por $D.$
Problema 8(G)
En un triángulo $ ABC $, el ángulo $ A $ mide el doble que el $ C $. Se traza la mediana $BD$ al lado $CA$ ($D$ es punto medio de $ CA $). Si el ángulo $ DBC $ es igual al ángulo en $ A $, calcular las medidas de los ángulos del triángulo $ ABC $.
Blanchet Theorem
En un triangulo $ABC $ donde $AD$ es la altura ($D$ sobre $ BC$)sea $P$ cualquier punto sobre $AD$, Y sean $E,F$las intercecciones de $BP,CP$ con $AC,AB$ respectivamente. Entonces se cumple que $AD$ es la bisectriz del angulo $EDF$
The Eyeball Theorem
Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de centros $A,B$, respectivamente. Desde $A$ se trazan las tangentes a $AR,AS$ con $R,S$ los puntos de tangencia, ademas estas rectas cortan a $C_1$ en $C,D$. De la misma forma se trazan las tangentes $BP,BQ$ a $C_1$ con $P,Q$ los puntos de tangencia, estas mismas cortan a $C_2$ en $E,F$, respectivamente. Entonces $EF=CD$
Problema 4(G)
Sea ABCD un trapecio con AB parelelo a CD y S la interseccion de sus diagonales. Demostrar: a)ASD y BSC tienen la misma area. b) S es punto medio del segmento paralelo a las bases, que pasa por S y con extremos en los lados del trapecio.
Concurrencia de cuerdas y diagonales de un cuadrilátero circunscrito
Las diagonales de un cuadrilátero circunscrito pasan por el punto de intersección de las cuerdas (que unen los puntos de tangencia en lados opuestos).
Cuerda y diagonal de un cuadrilátero circunscrito
Sea $ ABCD $ un cuadrilátero circunscrito (a una circunferencia, i.e., sus 4 lados son tangentes a la circunferencia), y $ E,F,G,H$ los puntos de tangencia en los lados $ AB, BC, CD, DA, $ respectivamente. Considere la intersección $R$ de una diagonal y una cuerda que une dos puntos opuestos de tangencia, digamos $BD$ y $EG$.
Trapecio circunscrito
Un trapecio $ABCD$, con $AB$ paralela a $CD$, está circunscrito a una circunferencia (los 4 lados del trapecio son tangentes a la circunferencia) con centro $O.$ Sean $M, N, P, Q$ los puntos de tangencia de la circunferencia con los lados $AB, BC, CD, DA,$ respectivamente. Demuestra que $AQ\cdot QD = BN\cdot NC.$
El 3 de Regiones
Sea $ ABC $ un triángulo rectángulo en $A$. La circunferencia con diámetro $AB$ corta a $ BC $ en $D$, y la circunferencia que pasa por $A, D,$ y el punto medio $O$ de $AB,$ corta a $CA$ en $P$ y corta nuevamente a $ BC $ en $Q$. Demuestra que $PQOA$ es un rectángulo.
Problema 1, geometrense 2008
En un circunferencia hay $3n$ puntos que la dividen en $3n$ arcos. De estos arcos $ n$ miden 1, $n $ miden 2 y el resto mide 3. Demuestra que existen dos de estos puntos diametralmente opuestos.