Problemas - Combinatoria
P4 OMM 1997. Planos determinados por seis puntos
Dados 3 puntos no alineados en el espacio, al único plano que los contiene le llamamos plano determinado por los puntos. ¿Cuál es el mínimo número de planos determinados por 6 puntos en el espacio si no hay 3 alineados y no están los 6 en un mismo plano?
P3 OMM 1997. Dieciseis vecinos en una cuadrícula
En una cuadrícula de 4 × 4 se van a colocar los números enteros del 1 al
16 (uno en cada casilla).
- (a) Pruebe que es posible colocarlos de manera que los números que aparecen en cuadros que comparten un lado tengan una diferencia menor o igual a 4.
- (b) Pruebe que no es posible colocarlos de tal manera que los números que aparecen en cuadros que comparten un lado tengan diferencia menor o igual a 3.
P5 OMM 1996. Recorre los cuadros y suma sus números
En una cuadrícula de $n \times n$ se escriben los números del 1 al $n^2$ en el orden habitual (de izquierda a derecha y de arriba a abajo). Como ejemplo se ilustra el caso $n = 3$: $$1 ~2 ~3$$ $$4 ~5 ~6$$ $$7 ~8 ~9$$
Llamemos camino en la cuadrícula a una sucesión de pasos de un cuadro a otro desde el cuadro 1 hasta el $n^2$, de tal manera que en cada paso el movimiento sea hacia la derecha o hacia abajo. Si $C$ es un camino, denotamos por $L(C)$ a la suma de los números por los que pasa el camino $C$.
P3 OMM 1996. Cubrir cuadrícula con dominós con una condición
Demuestra que no es posible cubrir una cuadrícula de 6cm × 6 cm con 28 rectángulos de 2cm × 1cm, de tal manera que cada una de las rectas de longitud 6cm que forman la cuadrícula y que están en el interior de la misma pase por uno de los rectángulos. Demuestra también que sí es posible cubrir una cuadrícula de 6cm × 5cm con 15 rectángulos de 2cm × 1cm de tal manera que cada una de las rectas de 5cm o 6 cm que forman la cuadrícula y que están en el interior de la misma pase por el centro de por lo menos uno de los rectángulos.
P2 OMM 1996. La ficha 1 te prende el foco
Bordeando una mesa circular hay dibujadas 64 casillas y en cada una hay una ficha. Las fichas y las casillas están numeradas del 1 al 64 en orden consecutivo (cada ficha está en la casilla del mismo número). En la parte central de la mesa hay 1996 focos apagados. Cada minuto todas las fichas se desplazan simultáneamente, en forma circular (en el mismo sentido de la numeración), como sigue: la ficha #1 se desplaza una casilla, la ficha #2 se desplaza dos casillas, la ficha #3 se desplaza 3 casillas, etcétera, pudiendo varias casillas ocupar la misma posición.
P6 OMM 1995. Tres operaciones sobre los símbolos de una cuadrícula
Sobre los cuadrados de una cuadrícula de $4x4$ se colocan símbolos 0 y1; estos símbolos se cambian uno por el otro de acuerdo a las siguientes tres operaciones:
La operación (a) cambia los símbolos de todos los elemntos de un renglón.
La operación (b) cambia de símbolos de todos los elementos de una columna.
La operación (c) cambia de símbolos de todos los elementos de una diagonal
(líneas punteadas en la figura).
P2 OMM 1995. Seis puntos, 8 distancias 1 ¿equilátero?
Considera 6 puntos en el plano con la propiedad de que 8 de las distancias entre ellos son iguales a 1. Muestra que al menos tres de los puntos forman un triángulo equilátero de lado 1.
P1 OMM 1995. Déjame estrechar tu mano
En una Olimpiada de Matemáticas los concursantes están ocupando todos los asientos de un salón rectangular donde los asientos están alineados en filas y columnas de tal manera que hay más de dos filas y en cada fila hay más de dos asientos. Al inicio del examen un profesor les sugiere que se deseen suerte dándose la mano; cada uno de los concursantes estrecha la mano de los concursantes que están junto a él (adelante, atrás, a los lados y en diagonal) y sólo a éstos. Alguien observa que se dieron 1020 apretones de manos ¿Cuántos concursantes hay?
P6 OMM 1994. Un problema muy negativo
Sea $C$ una cuadrícula de $10x10$. Considere piezas de las siguientes formas:
donde en cada pieza, los cuadrados son de $1 x 1$. Demuestre que:
- 1. $C$ no se puede cubrir completamente con 25 piezas de la forma (a)
- 2. $C$ no se puede cubrir completamente con 25 piezas de la forma (b)
- 3. $C$ no se puede cubrir completamente con 25 piezas de la forma (c)
P4 OMM 1994. Leer primero las páginas primas con 400
Un matemático caprichoso escribe un libro que tiene páginas de la 2 a la 400 y que debe ser leído de la siguiente manera: Primero deberán leerse todas las páginas cuyo número no sea primo relativo con 400 (por suerte, éstas se leen en orden normal, de menor a mayor). Una vez leídas éstas, se toma el último número de las que no se han leído (en este caso 399) y entonces se leen todas las páginas cuyo número no sea primo relativo con él y que no se hayan leído antes.