Problemas - Combinatoria
Problema 2. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas
Sean $n$ un entero positivo y $k$ un entero entre $1$ y $n$. Se tiene un tablero de $n \times n$ color blanco. Se hace el siguiente proceso. Se dibujan $k$ rectángulos con lados de longitud entera, con lados paralelos a los del tablero y tales que su esquina superior derecha coincide con la del tablero. Luego, estos $k$ rectángulos se rellenan de negro. Esto deja una figura blanca en el tablero. ¿Cuántas figuras blancas diferentes podemos obtener, que no se puedan obtener haciendo el proceso con menos de $k$ rectángulos?
Problema 4(C)
En una circunferencia se marcan 60 puntos, de los cuales 30 se colorean de rojo, 20 de azul y 10 de verde. La circunferencia queda así dividida en 60 arcos y a cada uno de ellos se les asigna un número de acuerdo a la siguiente regla:
--1 si une un punto rojo con uno verde
--2 si une un punto rojo con uno azul
--3 si une un punto azul con uno verde
--0 si une dos puntos del mismo color
¿Cuál es la mayor suma posible de los números asignados a los arcos? (Justifica tu respuesta.)
Problema 1 - IMO 2015 - Conjunto de puntos y mediatrices.
Decimos que un conjunto finito $\cal{S}$ de puntos en el plano es equilibrado si para cada dos puntos distintos $A$ y $B$ en $\cal{S}$ hay un punto $C$ en $\cal{S}$ tal que $AC = BC$. Decimos que $\cal{S}$ es libre de centros si para cada tres puntos distintos $A$, $B$, $C$ en $\cal{S}$ no existe ningún punto $P$ en $\cal{S}$ tal que $PA=PB=PC$.
- Demostrar que para todo $n \geq 3$ existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado.
- Determinar todos los enteros $n \geq 3$ para los que existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado y libre de centros.
Necesario organizar en casos
¿Cuántos números de 6 dígitos son tales que
- los dígitos de cada número son del conjunto $\{1,2,3,4,5\}$
- cualquier dígito que aparece en el número aparece al menos dos veces?
Ejemplo: 222133 no es admisible
Problema 9
Un polígono regular de $n$ lados es seccionado en dos partes mediante un solo corte recto. Una parte es un triángulo y la otra es un polígono de $m$ lados. ¿Cómo se relacionan $m$ y $n$ ?
Problema 4
Un reloj digital marca las 2 : 35. Ésta es la primera vez después de la medianoche en que los tres dígitos mostrados son números primos diferentes. ¿Cuál es la última vez antes del mediodía en que los tres dígitos en el reloj son números primos diferentes?
Problema 3
Verónica tiene más faldas que blusas y afirma que puede vestirse todos los días de un año normal usando un conjunto falda-blusa sin repetir. Anahí le comenta que si fuera un año bisiesto esto no podría hacerlo. Hallar el número de faldas y blusas que tiene Verónica si se sabe que tiene más de una blusa.
Partición en m parejas
Sean m y n enteros positivos con m > 1. Anastasia particiona el conjunto de enteros $1,2,\dots,2m$ en m parejas. Luego Boris escoje un entero de cada pareja y suma los enteros escogidos. Demuestra que Anastasia puede elegir las parejas de manera que Boris no pueda hacer que su suma sea igual a n.
Fichas de dominó en un tablero de ajedrez
Una ficha de dominó es de $2\times 1$ o de $1\times 2$ cuadrados unitarios. Determina de cuántas maneras distintas se pueden acomodar exactamente $n^2$ fichas de dominó en un tablero de ajedrez de tamaño $2n\times 2n$ de forma que cualquier cuadrado de $2\times 2$ contiene al menos dos cuadrados unitarios sin cubrir que están en la misma fila o en la misma columna.
Coloración en números del 1 al 4027
Cada uno de los números del 1 al 4027 se ha coloreado de verde o de rojo. Cambiar el color de un número es pasarlo a verde si era rojo, y pasarlo a rojo si era verde.
Diremos que dos enteros positivos $m$ y $n$ son cuates si alguno de los números $\frac{m}{n}$ o $\frac{n}{m}$ es un número primo. Un paso consiste en elegir dos números que sean cuates y cambiar el color de cada uno de los números.
Muestra que después de realizar algunos pasos es posible hacer que todos los números del 1 al 2014 sean verdes.