Problemas - Geometría
Lados y alturas en progresión aritmética, equilátero
Las medidas de los lados de un triángulo están en progresión aritmética, y las longitudes de las alturas del mismo triángulo también están en progresión aritmética. Demuestre que el triángulo es equilátero.
Puntos en lados opuestos de un cuadrilátero
Sean $ABCD$ un cuadrilátero plano convexo, y $P$ y $Q$ puntos de $AD$ y $BC$, respectivamente, tales que
$$\frac{AP}{PD}=\frac{AB}{DC}=\frac{BQ}{QC}$$
Demuestre que los ángulos que forma la recta $PQ$ con las rectas $AB$ y $DC$ son iguales.
Una condición de isósceles
En un triángulo $ABC$, $M$ y $N$ son los puntos medios respectivos de los lados $AC$ y $AB$, y $P$ el punto medio de intersección de $BM$ y $CN$. Demuestre que, si es posible inscribir una circunferencia en el cuadrilátero $ANPM$, entonces el triángulo $ABC$ es isósceles.
Cevianas por el circuncentro
Dado un triángulo $ABC$, considere los puntos $D, E, F$ en las rectas $BC, AC, AB$, respectivamente. Si las rectas $AD, BE, CF$ pasan todas por el centro $O$ del circuncírculo de $ABC$, cuyo radio es $r$, demostrar que
$$\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CE}=\frac{2}{r}$$
XI ONMAS!
Sea ABCDEF un hexagono con todos sus lados de longitud 1 y con los angulos ABC y EFA de 90°. ¿ cuanto debe medir el angulo BCD de manera que el area del hexagono sea la mayor posible ?
11 ONMAS Guerrero
ABCD es un cuadrado, el punto E esta en el lado BC. BD y AE se intersectan en el punto F. Con centro en el punto F y radio FA se traza una circunferencia que intersecta al lado CD en el punto G. Calcula el valor del angulo GFE y demuestra que el triangulo GFC es isisceles.
Homotecia: de baricentros a puntos de Varignon
Las diagonales de un cuadrilátero convexo dividen a éste en cuatro triángulos. Demostrar que sus baricentros forman un paralelogramo.
Problema 2 (IMO 2011)
Sea $S$ un conjunto finito de dos o más puntos del plano. En $S$ no hay tres puntos colineales. Un remolino es un proceso que empieza con una recta $l$ que pasa por un único punto $P$ de $S$. Se rota $l$ en el sentido de las manecillas del reloj con centro en $P$ hasta que la recta encuentre por primera vez otro punto de $S$ al cual llamaremos $Q$. Con $Q$ como nuevo centro se sigue rotando la recta en el sentido de las manecillas del reloj hasta que la recta encuentre otro punto de $S$. Este proceso continúa indefinidamente.
Problema 6 (IMO 2011)
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncírculo $\Gamma$. Sea $l$ una tangente a $\Gamma$, y sean $l_a,l_b,l_c$ las rectas obtenidas de $l$ mediante reflexión en $BC,CA,AB$, respectivamente. Demostrar que el circuncírculo del triángulo determinado por las rectas $l_a,l_b,l_c$ es tangente al círculo $\Gamma$.
Caracterización del ortocentro
Demostrar que un punto $P$ en el interior de un triángulo acutángulo $XYZ$ es el ortocentro de éste si y sólo si
- $XP$ es perpendicular a $YZ$, y
- el reflejo de $P$ en el lado $YZ$ pertenece al circuncírculo de $XYZ$.