Problemas - Geometría
Volumen de una alberca
Una alberca, cuyo espejo del agua es un rectángulo $a\times{b}$, tiene el fondo inclinado también rectangular de manera que la profundidad en un extremo ($h$) es un metro menor que la del otro. Obtener una fórmula para calcular la capacidad de la alberca en metros cúbicos y usarla para $h=1,a=3,b=6$. Nota: puedes suponer que $a,b,h$ están expresadas en metros y las paredes son verticales.
Triángulo rectángulo
El área de un triángulo rectángulo es 150 unidades, y la altura perpendicular a la hipotenusa mide 12. Calcular la longitud de sus lados.
Demostrar que un cuadrilátero es paralelogramo (Problema 5, OIM)
En un triángulo acutángulo ABC sean AE y BF dos alturas, y sea H el ortocentro. La recta simétrica de AE respecto de la bisectriz (interior) del ángulo en A y la recta simétrica de BF respecto de la bisectriz (interior) del ángulo en B se intersecan en un punto O. Las rectas AE y AO cortan por segunda vez a la circunferencia circunscrita al triángulo ABC en los puntos M y N, respectivamente.
Sean: P, la intersección de BC con HN; R, la intersección de BC con OM; y S, la intersección de HR con OP.
Demostrar que AHSO es un paralelogramo.
Tres circunferencias con un punto común. (Problema 2, OIM)
Con centro en el incentro I, de un triángulo ABC se traza una circunferencia que corta en dos puntos a cada uno de los tres lados del triángulo: al segmento BC en D y P (siendo D el más cercano a B); al segmento CA en E y Q (siendo E el más cercano a C), y al segmento AB en F y R (siendo F el más cercano a A).
Sea S el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero EQFR. Sea T el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero FRDP. Sea U el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero DPEQ.
Coloraciones de puntos en una cuadrícula (Problema 3, OIM)
Sean $n \geq 2$ un número entero y $D_n$ el conjunto de puntos $(x,y)$ del plano cuyas coordenadas son números enteros con $-n \leq x \leq n $ y $-n \leq y \leq n$
Línea de Euler
Demuestra que, para un triángulo no equilátero, el circuncentro, el gravicentro y el ortocentro están sobre una misma recta.
Ejercicio con baricentro y circuncentro
En la figura se muestra un triángulo $ABC$ y su circuncírculo. El segmento que va desde el circuncentro $O$ (concurrencia de mediatrices) al gravicentro $G$ (concurrencia de medianas) se ha prolongado hasta cortar a la altura $AD$ en $H$.
Demostrar:
- (a) Los triángulos $OMG$ y $HAG$ son semejantes
- (b) El segmento $GH$ mide el doble que el $OG$
- (c) En $H$ concurren las tres alturas
Ejercicio con ortocentro
En la figura, $H$ es la intersección de las alturas, y la altura $AD$ del triángulo $ABC$ se ha prolongado hasta cortar el circuncírculo en $P$.
Demostrar:
- (a) El triángulo $HBC$ es isósceles
- (b) La recta $BC$ es mediatriz de $HP$
- (c) Los puntos $H$ y $P$ son simétricos respecto al lado $BC$
Ortocentro, reflexión axial, circuncírculo
Demostrar que, en cualquier triángulo, el punto simétrico del ortocentro respecto a un lado es un punto del circuncírculo.
Circunferencia por ortocentro y dos vértices de un acutángulo (P5)