Problemas
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Concéntrica al incírculo de ABC
Sean $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y $\Gamma$ una circunferencia de centro $I$, de radio mayor al de la circunferencia inscrita y que no pasa por ninguno de los vértices. Sean $X_1$ el punto de intersección de $\Gamma$ con la recta $AB$ más cercano a $B$; $X_2$ y $X_3$ los puntos de intersección de $\Gamma$ con la recta $BC$ siendo $X_2$ más cercano a $B$; y $X_4$ el punto de intersección de $\Gamma$ con la recta $CA$ más cercano a $C$. Sea $K$ el punto de intersección de las rectas $X_1X_2$ y $X_3X_4$. Demostrar que $AK$ corta al segmento $X_2X_3$ en su punto medio.
Sucesión con primer entero en la posición 2007
Dado un entero positivo $m$, se define la sucesión $\{a_n\}_{n\geq 1}$ de la siguiente manera: $$a_1 = m/2,a_{n+1}=a_n\lceil a_n \rceil $$ Determinar todos los valores de $m$ para los cuales $a_{2007}$ es el primer entero que aparece en la sucesión.
Nota: Para un número real $x$ se define $\lceil x \rceil$ como el menor entero que es mayor o igual a $x$. Por ejemplo, $\lceil \pi \rceil = 4, \lceil 2007 \rceil = 2007$.
Vértice en la mediatriz
Sea $n\gt 1$ un entero impar. Sean $P_0$ y $P_1$ dos vértices consecutivos
de un polígono regular de $n$ lados. Para cada $k\geq 2$, se define $P_k$ como el vértice del polígono dado que se encuentra en la mediatriz de $P_{k-1}$ y $P_{k-2}$. Determine para qué valores de $n$ la sucesión $P_0, P_1, P_2,\ldots,$ recorre todos los vértices del polígono.
Circunferencia inscrita en un cuadrilátero
Dada una circunferencia $C$, considere un cuadrilátero $ABCD$ con sus cuatro lados tangentes a $C$, con $AD$ tangente a $C$ en $P$ y $CD$ tangente a $C$ en $Q$. Sean $X$ y $Y$ los puntos donde $BD$ corta a $C$, y $M$ el punto medio de $XY$ . Demuestre que $\angle{AMP} = \angle{CMQ}$.
Encontrar parejas --con dos restricciones
Determine todas las parejas $(a, b)$ de enteros positivos tales que $2a + 1$ y $2b - 1$ sean primos relativos y $a + b$ divida a $4ab + 1$.
Paseos de una ficha en un tablero
Los números $1,2,3,\ldots,n^2$ se colocan en las casillas de una cuadrícula de $n\times n$, en algún orden, un número por casilla. Una ficha se encuentra inicialmente en la casilla con el número $n^2$. En cada paso, la ficha puede avanzar a cualquiera de las casillas que comparten un lado con la casilla donde se encuentra. Primero, la ficha viaja a la casilla con el número 1, y para ello toma uno de los caminos más cortos (con menos pasos) entre la casilla con el número $n^2$ y la casilla con el número 1.
Suma de diferencias
Se consideran $n$ números reales $a_1,a_2,\ldots,a_n$ no necesariamente distintos. Sea $d$ la diferencia entre el mayor y el menor de ellos y sea $$s= \sum_{i\lt j}|a_i-a_j|$$ Demuestre que $(n-1)d\leq s\leq n^2d/4$ y determine las condiciones que deben cumplir estos $n$ números para que se verifique cada una de las igualdades.
Incírculo y circuncírculo de un escaleno rectángulo
En el triángulo escaleno $ABC$, con $\angle{BAC}=90$, se consideran las circunferencias inscrita y circunscrita. La recta tangente en $A$ a la circunferencia circunscrita corta a la recta $BC$ en $M$. Sean $S$ y $R$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los catetos $AC$ y $AB$, respectivamente. La recta $RS$ corta a la recta $BC$ en $N$. Las rectas $AM$ y $SR$ se cortan en $U$. Demuestre que el triángulo $UMN$ es isósceles.
La recta pasa por el ortocentro
Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ y $A_1$ un punto en el
arco menor $BC$ de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$. Sean $A_2$ y
$A_3$ puntos en los lados $AB$ y $AC$ respectivamente, tales que $\angle{BA_1A_2} = \angle{OAC}$ y $\angle{CA_1A_3} = \angle{OAB}$. Demuestre que la recta $A_2A_3$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$.
Coloreo roji-azul de 2n puntos alineados
Dado un entero positivo $n$, en un plano se consideran $2n$ puntos alineados $A_1, A_2,\ldots, A_{2n}$. Cada punto se colorea de azul o rojo mediante el siguiente procedimiento:
- En el plano dado se trazan $n$ circunferencias con diámetros de extremos $A_i$ y $A_j$ , disyuntas dos a dos.
- Cada $A_k, 1\leq k\leq 2n$, pertenece exactamente a una circunferencia.
- Se colorean los puntos de modo que los dos puntos de una misma
circunferencia lleven el mismo color.
Determine cuántas coloraciones distintas de los $2n$ puntos se pueden obtener al variar las $n$ circunferencias y la distribución de los dos colores.
Operación residual sobre dos enteros positivos
Dados dos enteros positivos $a$ y $b$, se denota por $(a\nabla b)$ al residuo que se obtiene al dividir $a$ entre $b$. Este residuo es uno de los números $0, 1,\ldots, b - 1$. Encuentre todas las parejas de números $(a, p)$ tales que $p$ es primo y se cumple que $$(a\nabla p) + (a\nabla 2p) + (a\nabla 3p) + (a\nabla 4p) = a + p.$$
Ecuación de inversos
Sea $p > 3$ un número primo. Si $$\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\ldots+\frac{1}{(p-1)^p}=\frac{n}{m}$$ donde el máximo común divisor de $n$ y $m$ es 1. Demuestre que $p^3$ divide a $n$.
Pulga saltona --en la recta numérica
Una pulga salta sobre puntos enteros de la recta numérica. En su primer movimiento
salta desde el punto 0 y cae en el punto 1. Luego, si en un movimiento la pulga saltó desde el punto $a$ y cayó en el punto $b$, en el siguiente movimiento salta desde el punto $b$ y cae en uno de los puntos $b + (b - a) - 1, b + (b - a), b + (b - a) + 1.$
Demuestre que si la pulga ha caído dos veces sobre el punto $n$, para $n$ entero
positivo, entonces ha debido hacer al menos $t$ movimientos, donde $t$ es el menor
entero mayor o igual que $2\sqrt{n}$.
Sistema de ecuaciones
Determine todas las ternas de números reales $(x, y, z)$ que satisfacen el siguiente
sistema de ecuaciones:
$$xyz = 8,$$
$$x^2y + y^2z + z^2x = 73,$$
$$x(y - z)^2 + y(z - x)^2 + z(x - y)^2 = 98.$$
Punto de corte de un conjunto de puntos
Para un conjunto $H$ de puntos en el plano, se dice que un punto $P$ del plano es un punto de corte de $H$ si existen cuatro puntos distintos $A, B, C, D$ en $H$ tales que las rectas $AB$ y $CD$ son distintas y se cortan en $P$.
Dado un conjunto finito $A_0$ de puntos en el plano, se construye una sucesión de conjuntos $A_1, A_2, A_3,\ldots$ de la siguiente manera: para cualquier $j\geq 0$ , $A_{j+1}$ es la unión de $A_j$ con el conjunto de todos los puntos de corte de $A_j$.
Demostrar que si la unión de todos los conjuntos de la sucesión es un conjunto finito,
entonces para cualquier $j\geq 1$ se tiene que $A_j = A_1$.
Bisectrices y mediatrices de un escaleno
Dado un triángulo escaleno $ABC$, sean $A', B'$ y $C'$ los puntos de intersección de las bisectrices interiores de los ángulos $A, B$ y $C$ con los lados opuestos, respectivamente. Sean $A''$ la intersección de $BC$ con la mediatriz de $AA'$, $B''$ la intersección de $AC$ con la mediatriz de $BB'$ y $C''$ la intersección de $AB$ con la mediatriz de $CC'$. Probar que $A'', B''$ y $C''$ son colineales.
Cuadrados perfectos formados con dos números
Determinar todas las parejas $(a,b)$, donde $a$ y $b$ son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que $100a + b$ y $201a + b$ son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.
Igualdad de múltiplos comunes mínimos
Sean $n$ y $k$ enteros positivos tales que o bien $n$ es impar o bien $n$ y $k$ son pares. Probar que existen enteros $a$ y $b$ tales que $$mcd (a, n) = mcd (b, n) = 1, k = a + b.$$
Lugar geométrico de centros de circunferencias
Se considera en el plano una circunferencia de centro $O$ y radio $r$ y un punto $A$ exterior a ella. Sea $M$ un punto de la circunferencia y $N$ el punto diametralmente opuesto a $M$. Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por $A, M$ y $N$ al variar $M$.
Condiciones de coloreo de un tablero
Se deben colorear casillas de un tablero de $1001\times 1001$ de acuerdo a las reglas siguientes:
- Si dos casillas tienen un lado común, entonces al menos una de ellas se debe colorear.
- De cada seis casillas consecutivas de una fila o de una columna, siempre se deben colorear al menos dos de ellas que sean adyacentes.
Determinar el número mínimo de casillas que se deben colorear.