Problemas

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares. Sean $O$ el circuncentro de $ABC$, $K$ el punto de intersección de las diagonales, $L\neq O$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas a $OAC$ y $OBD$, y $G$ el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios de los lados de $ABCD$. Demostrar que $O,K, L,G$ están alineados.

Sea $\Gamma$ el incírculo de un triángulo escaleno $ABC$, que es tangente a los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $D,E,F$ respectivamente. Las rectas $EF$ y $BC$ se cortan en $G$. La circunferencia de diámetro $GD$ corta a $\Gamma$ por segunda vez en $R$. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección (distintos de $R$) de $\Gamma$ con $BR$ y $CR$, respectivamente. Las rectas $BQ$ y $CP$ se cortan en $X$, el circuncírculo de $CDE$ corta a $QR$ en $M$ y el circuncírculo de $BDF$ corta a $PR$ en $N$. Demostrar que $PM, QN$ y $RX$ son concurrentes.

Se tienen diez monedas indistinguibles en hilera. Se sabe que dos de ellas son falsas y están en posiciones consecutivas en la hilera. Una pregunta consiste en elegir un subconjunto cualquiera de las monedas y preguntar cuántas de ellas son falsas.  Decidir si es posible identificar con certeza las monedas falsas haciendo solamente dos preguntas, sin conocer la respuesta de la primera antes de formular la segunda.

En un partido de biribol se enfrentan dos equipos de cuatro jugadores cada uno. Se organiza un torneo de biribol en el que participan $n$ personas, que forman equipos para cada partido (los equipos no son fijos). Al final del torneo se observó que cada dos personas disputaron exactamente un partido en equipos rivales. Determinar para qué valores de $n$ es posible organizar un torneo con tales características.

Pruebe que la ecuación $$x^{2008}+2008!=21^y$$ no tiene soluciones enteras $(x,y)$

Sean $ABC$ un triángulo escaleno y $l$ la bisectriz exterior del $\angle{ABC}$. Sean $P$  y  $Q$ los pies de las perpendiculares a la recta $l$ que pasan por $A$ y $C$, respectivamente. Sean $M$ y $N$ las intersecciones de $CP$ y $AB$ y $AQ$ y $BC$, respectivamente. Pruebe que las rectas $AC,MN$ y $l$ tienen un punto en común.

Sea $F$ la familia de todos los hexágonos convexos $H$ que satisfacen las siguientes condiciones:

• (a) los lados opuestos de $H$ son paralelos;
• (b) tres vértices cualesquiera de $H$ se pueden cubrir con una franja de ancho 1.

Determinar el menor número real $l$ tal que cada uno de los hexágonos de la familia $F$ se puede cubrir con una franja de ancho $l$.

Nota: Una franja de ancho $l$ es la región del plano comprendida entre dos rectas paralelas que están a distancia $l$ (incluidas ambas rectas paralelas).

En un tablero cuadriculado de tamaño $19\times 19$, una fiha llamada dragón da saltos de la siguiente manera: se desplaza 4 casillas en una dirección paralela a uno de los lados del tablero y 1 casilla en dirección perpendicular a la anterior.

Sean $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y $\Gamma$ una circunferencia de centro $I$, de radio mayor al de la circunferencia inscrita y que no pasa por ninguno de los vértices. Sean $X_1$ el punto de intersección de $\Gamma$ con la recta $AB$ más cercano a $B$; $X_2$ y $X_3$ los puntos de intersección de $\Gamma$ con la recta $BC$ siendo $X_2$ más cercano a $B$; y $X_4$ el punto de intersección de $\Gamma$ con la recta $CA$ más cercano a $C$. Sea $K$ el punto de intersección de las rectas $X_1X_2$ y $X_3X_4$. Demostrar que $AK$ corta al segmento $X_2X_3$ en su punto medio.