Problemas

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo, y sea $D$ el pie de la altura trazada desde $C$. La bisectriz de $\angle ABC$ intersecta a $CD$ en $E$ y vuelve a intersectar al circuncírculo $\omega$ de $\triangle ADE$ en $F$. Si $\angle ADF = 45°$, muestra que $CF$ es tangente a $\omega$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $P,Q$ puntos sobre $AB$ y $AC$ respectivamente, tal que $AP = CQ$. Demostrar que la mediatriz de $PQ$ pasa por un punto fijo al variar $P$.

Sean $\Gamma_{1}$ una circunferencia y $P$ un punto fuera de $\Gamma_{1}$. Las tangentes desde $P$ a $\Gamma_{1}$ tocan la circunferencia en los puntos $A$ y $B$. Considera $M$ el punto medio del segmento $PA$ y $\Gamma_{2}$ la circunferencia que pasa por los puntos $P$, $A$ y $B$. La recta $BM$ interesecta de nuevo a $\Gamma_{2}$ en el punto $C$, la recta $CA$ intersecta de nuevo a $\Gamma_{1}$ en el punto $D$, el segmento $DB$ intersecta de nuevo a $\Gamma_{2}$ en el punto $E$ y la recta $PE$ intersecta a $\Gamma_{1}$ en el punto F (con E entre P y F). Muestra que las rectas $AF$, $BP$ y $CE$ concurren.

El punto P está fijo en una circunferencia y el punto Q está fijo en una recta. Un punto variable R se mueve sobre la circunferencia pero sin alinearse con P y Q. La circunferencia por P,Q y R corta a la recta de nuevo en V. Demostrar que la recta VR pasa por un punto fijo.

Un conjunto de rectas en el plano está en posición general si no hay dos que sean paralelas ni tres que pasen por el mismo punto. Un conjunto de rectas en posición general separa el plano en regiones, algunas de las cuales tienen área finita; a estas las llamamos sus regiones finitas.

Demostrar que para cada $n$ suficientemente grande, en cualquier conjunto de $n$ rectas en posición general es posible colorear de azul al menos $\sqrt{n}$ de ellas de tal manera que ninguna de sus regiones finitas tenga todos los lados de su frontera azules.

En el cuadrilátero convexo $ABCD$, se tiene $\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ}$. La perpendicular a $BD$ desde $A$ corta a $BD$ en el punto $H$. Los puntos $S$ y $T$ están en los lados $AB$ y $AD$, respectivamente, y son tales que $H$ está dentro del triángulo $SCT$ y
$$\angle CHS - \angle CSB = 90^{\circ},\quad \angle THC - \angle DTC = 90^{\circ}$$.
Demostrar que la recta $BD$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $TSH$.

Sea  un trapecio $ABCD$ de bases $AB$  y $CD$ , inscrito en una circunferencia de radio $O$. Sea $P$ la intersección de las rectas $AD$ y $BC$ . Una circunferencia por $O$ y $P$  corta a los segmentos $BC$ y $AD$ en puntos interiores $F$ y $G$ respectivamente. Muestre que $BF=DG$ .

2.5. Sea ABC un triángulo acutángulo isósceles con AC=BC. M y N son los puntos medios de AC y BC, respectivamente. La altura desde A corta a la prolongación de MN en X y la altura desde B corta a la prolongación de MN en Y. Z es la intersección de AY con BX. Además, sucede que los triángulos ABC y XYZ son semejantes. Determina la razón $\frac{AC}{AB}$.

1.6. Sean ABC un triángulo acutángulo, H su ortocentro y M el punto medio de BC. La perpendicular a MH por H corta a AB en L y a AC en N. Demuestra que LH=HN.